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第一部分 练习与思考题

2.9-3.7 3.6-5.14 4.1-7.1 4.4-7.3 5.9-11.1 5.1-9.1 6.5-4.7 6.10-4.14

第1章 建立数学模型

1.1 在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连线呈长方形，结论如何？（稳定的椅子问题见姜启源《数学模型》第6页）

1.2 在商人们安全过河问题中，若商人和随从各四人，怎样才能安全过河呢？一般地，有n名商人带n名随从过河，船每次能渡k人过河，试讨论商人们能安全过河时，n与k应满足什么关系。（商人们安全过河问题见姜启源《数学模型》第7页）

1.3 人、狗、鸡、米均要过河，船需要人划，另外至多还能载一物，而当人不在时，狗要吃鸡，鸡要吃米。问人、狗、鸡、米怎样过河？

1.4 有3对夫妻过河，船至多载两人，条件是任一女子不能在其丈夫不在的情况下与其他的男子在一起。问怎样过河？

1.5 如果银行存款年利率为5.5%，问如果要求到20XX年本利积累为100000元，那么在1990年应在银行存入多少元？而到2000年的本利积累为多少元？

1.6 某城市的Logistic模型为

dN1dt?25N?125?106N2，如果不考虑该市的流动人口的影响以及非正常死亡。设该市1990

年人口总数为8000000人，试求该市在未来的人口总数。当t??时发生什么情况。

1.7 假设人口增长服从这样规律：时刻t的人口为x(t)，最大允许人口为xm，t到t??t时间内人口数量与xm?x(t)成正

比。试建立模型并求解，作出解的图形并与指数增长模型和阻滞增长模型的结果进行比较。

1.8 一昼夜有多少时刻互换长短针后仍表示一个时间？如何求出这些时间？

1.9 你在十层楼上欲乘电梯下楼，如果你想知道需要等待的时间，请问你需要有哪些信息？如果你不愿久等，则需要爬上或爬下几个楼层？

1.10 居民的用水来自一个由远处水库供水的水塔，水库的水来自降雨和流入的河流。水库的水可以通过河床的渗透和水面的蒸发流失。如果要你建立一个数学模型来预测任何时刻水塔的水位，你需要哪些信息？

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第2章 初等模型

2.1 学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：

（1）按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者.

（2）2.1节中的Q值方法.

（3）d’Hondt方法： 将各宿舍的人数用正整数n?1,2,

3,?相除，其商数如下表：

1 2 3 4 5 … A 235 117.5 78.3 58.75 … B 333 166.5 111 83.25 … C 432 216 144 108 86.4

将所得商数从大到小取前10个(10为席位数),在数字下标以横线，表中A，B，C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配席位.你能解释这种方法的道理吗。

如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额.将3种方法两次分配的结果列表比较.

（4）你能提出其他的方法吗.用你的方法分配上面的名额. 2.2 在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种想象了吗.比如洁银牙膏50克装的每支1.50元,120克装的每支3.00元,二者单位的重量的价格比是1.2:1,试用比例方法构造模型解释这个现象.

（1）分析商品的价格C与商品重量W的关系.价格由生产成本、包装成本和其它成本等决定，这些成本中有的与重量W成正比，有的与表面积成正比，还有与W无关的因素。

(2)给出单位重量价格C与W的关系。画出它的简图，说明W越大C越小，但是随着W的增加C减小的程度变小。解释实际意义是什么。

2.3 一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用与测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假设鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到了8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：

身长(cm) 36.8 31.8 43.8 36.8 32.1 45.1 35.9 32.1 重量(cm) 765 482 1162 737 482 1389 652 454 胸围(cm) 24.8 21.3 27.9 24.8 21.6 31.8 22.9 21.6

先用机理分析建立模型，再用数据确定参数。 2.4用已知尺寸的矩形板材加工一定的圆盘，给出几种简便、有效的排列方法使加工出尽可能多的圆盘。

2.5雨滴匀速下降，空气阻力与雨滴表面积和速度平方的乘积成正比，试确定雨速与雨滴质量的关系。

2.6生物学家认为，对于休息状态的热血动物消耗的能量主要用于维持体温，能量与从心脏到全身的血流量成正比，而体温主要通过身体表面散失，建立一个动物体重与心率之间关系的模型，并用下面的数据加以检验。

动物 体重（g） 心率（次/分） 田鼠 25 670 家鼠 200 420 兔 2000 205 小狗 5000 120 学习必备 欢迎下载

大狗 30000 85 羊 50000 70 人 70000 72 马 450000 38

2.7 举重比赛按照运动员的体重分组,你能在一些合理、简化的假设下建立比赛成绩与体重之间的关系吗。下面是一界奥运会竞赛的成绩，可供检验你的模型。

最大体重 抓举 挺举 总成绩 组别 （kg） （kg） （kg） （kg） 1 54 132.5 155 287.5 2 59 137.5 170 307.5 3 64 147.5 187.5 335 4 70 162.5 195 357.5 5 76 167.5 200 367.5 6 83 180 212.5 392.5 7 91 187.5 213 402.5 8 99 185 235 420 9 108 195 235 430 10 >108 197.5 260 457.5 2.8 速度为v的风吹在迎风面积s为的风车上，空气密度是?。用量纲分析方法确定风车获得的功率P与v，s，?的关系。 2.9 雨速的速度v与空气密度?、粘滞系数?和重力加速度

g有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数。用量纲分析方法给出速度v的表达式。

2.10 原子弹爆炸时巨大的能量从爆炸点以冲击波形式向四周传播。据分析在时刻t冲击波达到的半径r与释放能量e，大气密度?，大气压强p有关（设t?0时r?0）。用量纲分析方法

?et215证明，r?????p5?t6?????????e2?3???，?是未定函数。 2.11 用量纲分析方法研究人体浸在匀速流动的水里时损失

的热量。记水的流速v，密度?，比热c，粘性系数?，热传导系数k，人体尺寸d。证明人体与水的热交换系数h与上述各物理量的关系可表为h?k?v?dd????c???,k???，?是未定函数，h定义为单位时间内人体的单位面积在人体与水的温差为1?C时的热量交换。

2.12 在小说《格里佛游记》中,小说国中的人们决定给格里佛相当与一个小人食量1728倍的食物.他们是这样推理的,因格里佛身高是小人的12倍.他的体格是小人的123?1728倍.所以他需要的食物是一个小人的食量的1728倍.为什么他们的推理是错误的?正确的答案是什么?

2.13 战后Olympic运动会女子铅球记录如下: 年份 1948 1952 1956 1960 1964 1968 1972 1976 1980 1984 距离(米) 13.75 15.28 16.59 17.32 18.14 19.61 21.03 21.16 22.41 23.57

你是否可以从这些数据中预测2000年的奥运会女子铅球的最佳成绩.

第3章 简单的优化模型