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吸引大量猫、猫头鹰等捕鼠动物。因此在几个星期内鼠群的97——98%就回死去或被捕食，直到数量降到最高峰的2%时，由于密度太低，瘟疫停止传播，捕鼠动物因鼠稀少而离开。设在增加时服从指数规律
dpdt?ap，减少时服从dpdt?Bp2。试证明鼠群增加到最高峰需要时间T1?1alnQq，而从最高峰减少至最低数字需时间Tq2?Q?qQB。设T4年，Q1?q?50，说明a?1。 6.6 如下哪一个模型对于描述疾病在有限的人群中的传播是
合理的： （1）N???N； （2）N???(NT?N)； （3）N???(N?NT)，其中N为感染病人的总数，NT为人群总数。
6.7 考虑如下的种群增长模型：
（1）N???aN?bN2， （2）N???aN?bN2 （3）N??aN?bN2， （4）N??aN?bN2 其中a?0,b?0为常数，对于每个情形，试描述生育和死亡的机制。
6.8 建立相互依存的两物种群体的数学模型：设第一物种独立存在时服从自限增长规律，第二物种为第一物种提供食物有助于第一物种的增长；若无第一物种，第二物种以固定的死亡率衰减，第一种生物为第二生物提供食物，促进第二物种的增长。同时第二物种也受自限规律制约。
6.9 若在掠肉鱼—小鱼系统中考虑一种情形：掠肉鱼只捕食
成年的小鱼而不捕食幼鱼。试建立该情形的数学模型。
6.10 试建立以下化学反应的数学模型
（1）设1mol物质A和1mol物质B经不可逆化合反应生成1mol物质P。由于化合反应是由两物质分子碰撞而发生的，物质A和B的浓度越大，A、B转化为P的速率越快。设已知A和B的初始浓度，试建立此化合反应的数学模型。
（2）设A、B两种物质溶解在水中，A、B可以相互转化。A转化为B称为正反应，B转化为A称为逆反应。若正反应的速率与A的浓度成比，比例系数为k1，逆反应的浓度与B的浓度成正比，比例系数为k2，已知A、B初始时的浓度，试建立此可逆反应的数学模型。
6.11 考虑如下的三种群的生态模型
F??F(a?cS)，S??S(?k??F?mG)，G??G(?e??S) 假设系数a,c,k,m,e,?,?都是正的，试描述每个生物种在这个系统中所起的作用。
6.12 假设给第一类即易受传染者注射预防针，其注射的速度?同这一类的人数成正比，这时
ì?dS(t)dt???S(t)I(t)??S(t)í ?dI(t)?dt???I(t)??S(t)I(t)（1）试求其轨线。
（2）由（1）推出下列结论：对于方程的每一个S(t),I(t)，当t趋向于无穷大时，S(t)趋向于零。
6.13 本世纪初期，在伦敦曾观察到这种现象：大约每两
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年爆发一次麻疹传染病。生物学家H.E.Soper试图解释这种现象，他认为易受传染病的人数因人口中增添新的成员而不断得到补充。因此，他假设
ì?dS(t)ídt???S(t)I(t)???dI(t) ?dt???I(t)??S(t)I(t)其中和都是正的常数。试求：
（1）找出方程组的平衡解；
（2）证明方程组的初始值足够接近这个平衡解的每一个解
S(t),I(t)，当t趋于无穷大时，都趋向于平衡解。
（3）当t趋向于无穷大时，方程组的每一个解S(t),I(t) 都趋于平衡解。所以，我们得到结论：方程组不能解释重复发生麻疹传染病这种现象。相反，它表明，这种疾病最终将趋向于稳恒状态。
6.14 （本题为美国首届大学生数学模型竞赛试题）在一个资源有限——即有限的食物、空间、水等等——的环境里发现天然存在的动物群体。试选择一种鱼类或哺乳动物（例如北美矮种马、鹿、兔、鲑鱼、带条纹的欧洲鲈鱼）以及一个你能获得适当数据的环境，并形成一个对该动物群体捕获量的最佳方针。
第7章 差分方程模型
7.1 设某种动物种群最高年龄为30，按10岁为一段将此 种群分为3组。设初始时三组中的动物为(1000,1000,1000)T，
相应的Leslie矩阵为
??030??L???1600?
??01?20??试求10，20，30年后各年龄组的动物数，并求该种群的稳定
年龄分布，指出该种群的发展趋势。
7.2 设医疗保健水平已达到相当高水准，可以假设Pi已几乎无法在增大。在此假设下，讨论Leslie模型给出的结果。试根据Leslie模型设计一个理想的人口增长模式。
7.3 在7 .4节按年龄分组的种群增长模型中，设一群动物最高年龄为15岁，每5岁一组，分成3个年龄组，各组的繁殖率为
b1?0,b2?4,b3?3，存活率为s1?12,s2?14，开始时3组
各有1 000只．求15年后各组分别有多只以及 时间充分长以后种群的增长率(即固有增长率)和按年龄组的分布．
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7.4 在按年龄分组的种群增长模型基础上，建立种群的稳定收获模型．
(1)设年龄组区间、时段长度都正好等于种群的繁殖周期，种群的按年龄组分布、Leslie矩阵及增长规律仍用7.4节的
x(k?1)?Lx(k)表示.如果时段k第i年龄组种群的增加量就
是这个时段的收获量，表示为
xi(k)?xi(k?1)?hi(k)xi(k)，i?1,2,?,n,k?1,2,?
其中hi(k)为收获系数．
所谓稳定收获是指，各个时段同一年龄组的收获量不变，即
hi(k)和xi(k)(在收获之后)与k无关．用H表示以hi为对角元
素的对角阵，证明稳定收获模型可表为Lx?x?HLx，其中x是种群的按年龄组的稳定分布．
(2) 证明获得稳定收获的充要条件是：hi满足
(1?h1)[b1?b2s1(1?h2)??
?bns1?sn?1(1?h2)?(1?hn)]?1
且x?cx?(c是大于零的常数)，其中
x??[1,s1(1?h2),?,s1?sn?1(1?h2)?(1?hTn)]
(3) 利用第7.3题的数据至少给出H和x的两组解，并计
算按年龄组稳定收获的分布．
7.5 讨论稳定收获模型(第7.4题)的两个特例 （1）有些种群最年幼的级别具有较大的经济价值，所以饲养
者只收获这个年龄组的种群，于是h1?h，h2???hn?0。给出这种情况下稳定收获的充要条件，并在第7.3题数据下求收获系数、种群的稳定分布和收获量按年龄组的稳定布．
（2）对于随机捕获的种群，区分年龄是困难的，不妨假定
h1???hn?h。讨论与(1)同样的问题．
7.6 在7 .4节按年龄分组的种群增长模型中，证明当时间充分长以后若种群繁殖率R?1，则种群增长，若R?1则种群减少.
7.7 对于7．1节蛛网模型讨论下列问题： （1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第k?1时段的价格yk?1由第k?1和第k时段的数量xk?1和xk决定．如果仍设xk?1仍只取决于yk，
给出稳定平衡的条件，并与7．1节的结果进行比较.
（2）若除了yk?1由xk?1和xk决定之外，xk?1也由前两个时
段的价格yk和yk?1确定．试分析稳定平衡的条件是否还会放宽．
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第8章 离散模型
8.1 设n阶矩阵A为一致阵，证明A具有下列性质： （1）A的秩为1，唯一的非零特征根为n；
（2）A的任一列向量都是对应于n的特征向量。
8.2 若发现一成对比较矩阵A的非一致性较为严重，应如何
寻找引起非一致性的元素？例如，设已构造了成对比较矩阵
?1153?A???516?
?1??1316??（1）对A作一致性检验；
（2）若A的非一致性较严重，应如何作修正。
8.3 你已经去过几家主要的摩托车商店，基本确定将从三种车型中选购一种。你选择的标准主要有：价格、耗油量大小、舒适程度和外表美观情况。经反复思考比较，构造了它们之间的成对比较矩阵
??1378?A??13155??13?? ?7151?1815131??三种车型（记为a，b，c）关于价格、耗油量、舒适程度及你对它们表观喜欢程度的成对比较矩阵为
（价格） （耗油量）
abc abc
a?123?b ?1212?a?11512? b ?517?
c??121?????13?c??2171??
（舒适程度） （外表）
abc abc
a?135?a?1153?b ?1314? b ?51?
c???7?15141??c??1??1317??（1）根据上述矩阵可以看出四项标准在你心目中的比重是不
同的，请按由重到轻的顺序将它们排出。
（2）哪辆车最便宜、哪辆车最省油、哪辆车最舒适，你认为哪辆车最漂亮？
（3）用层次分析法确定你对这三种车型的喜欢程度（用百分比表示）。
8.4 外出旅游选择交通工具（包括飞机、火车、汽车），由于不同人外出的目的不同，经济条件不同，体制、心理、经历、兴趣都不同，考虑到安全、舒适、快速、经济、游览等因素，问应如何选择交通工具。
8.5 用层次分析法解决下列问题：
（1）学校评选优秀学生或优秀班级，试给出若干准则，构造层次结构模型，可分为相对评价和绝对评价两种情况讨论。
（2）你要购置一台个人电脑，考虑功能、价格等的因素，如何作出决策。
（3）为大学毕业的青年建立一个选择志愿的层次结构模型。 （4）你的家乡准备集资兴办一座小型饲养场，是养猪，还是养鸡、养鸭、养兔……。
8.6 右图是5位网球
2
1 3
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选手循环赛的结果。作为 竞赛图，它是双向连通的 吗？找出几条完全路径， 用适当方法排出5位选手 的名次。
8.7 排名次的另一种方法是考察“失分向量”以代替得分向量（选手输掉场次的数目为他的失分），按失分由小到大排列名次。
（1）证明：这相当于把竞赛图中各有向边反向后，按得分向量排列名次，再把名次倒过来。
（2）用失分向量方法对 1
右图的竞赛图排列名次， 结果与用得分向量方法一 致吗？ 2 4 3
8.8 公共汽车系统用带符号的有向图表示如下，其中只有单位距离票价随着乘客行程的增加应该提高还是降低尚未确定（图中有向边1?2的标以?号）.讨论这个符号应为 ? 还是 － 才能使冲量过程稳定.
2 - 3 ? - 1 - - + + 5 6 - + + + 4 + +
+
7 + 8 1－乘客的行程； 2－单位距离票价； 3－节油量； 4－燃料消耗 5－污染； 6－事故； 7－晚点； 8－居民人数
8.9 某甲(农民)有一块土地,若从事农业生产可收入1万元.
若将土地组给某乙(企业家)用于工业生产，可收入3万元。当旅店老板请企业家参与经营时，收入达4万元。为促成最高收入的实现，试用Shapley值方法分配各人的所得。
8.10 某作坊若由作坊主甲经营估计年获利1万元，若租给乙经营估计年获利5万元，若租给丙经营估计年获利6万元，若乙、丙合伙经营估计年获利10元。试按Shapley公式计算在最大获利情况下各人的所得。
8.11 议会有100个席位，分别为四个党派所得，它们拥有的席位数分别为40、30、20、10。设法律规定提案需
23赞成方能通过，试用Shapley公式计算各党派在议会表决中的权重（设同派别的成员投票一致）。
8.12 设议会的席位由三个党派所拥有，法律规定提案需半数赞成方能通过。证明：
（1）若存在一个党派，其席位数过半，则其余两个党派在议会中事实上根本不起作用；
（2）若任一党派的席位数均少于总席位数的一半，则三个党派在表决中所起的作用相同。
8.13 用最小距离意义下的选举规则研究由下式给出的投票：
p1：x?y?z， p2：y?z?x， p3：z?x?y
3（1）如果以
?d(p,pi)最小为原则确定选举结果p，说明
i?1p可以是p1，p2或p3中任一个；
3（2）如果以
?d2(p,pi)最小为原则确定选举结果p，说
i?1明p：x~y~z。