第三节 全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”
[最新考纲] 1.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义.2.理解全称量词和存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
1．全称量词和存在量词
(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等． (2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．
2．全称命题与特称命题
(1)含有全称量词的命题叫全称命题． (2)含有存在量词的命题叫特称命题. 3．命题的否定
(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题． (2)p或q的否定为：綈p且綈q；p且q的否定为：綈p或綈q. 4．逻辑联结词
(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词． (2)命题p且q、p或q、非p的真假判断
p 真 真 假 假 [常用结论] q 真 假 真 假 p且q 真 假 假 假 p或q 真 真 真 假 非p 假 假 真 真 1．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律
(1)p或q：p，q中有一个为真，则p或q为真，即有真即真． (2)p且q：p，q中有一个为假，则p且q为假，即有假即假． (3)綈p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．
2．含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．
3．命题的否定和否命题的区别：命题“若p，则q”的否定是“若p，则綈q”，否命题是“若綈p，则綈q”．
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)命题“3≥2”是真命题．( )
(2)若命题p且q为假命题，则命题p，q都是假命题．( ) (3)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”．( ) (4)“全等的三角形面积相等”是全称命题．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√ 二、教材改编
1．命题“任意x∈R，x＋x≥0”的否定是( ) A．存在x0∈R，x0＋x0≤0 B．存在x0∈R，x0＋x0＜0 C．任意x∈R，x＋x≤0 D．任意x∈R，x＋x＜0
B [由全称命题的否定是特称命题知选项B正确．故选B.] 2．下列命题中的假命题是( ) A．存在x0∈R，lg x0＝1 B．存在x0∈R，sin x0＝0 C．任意x∈R，x＞0 D．任意x∈R,2＞0
C [当x＝10时，lg 10＝1，则A为真命题；当x＝0时，sin 0＝0，则B为真命题；当x≤0时，x≤0，则C为假命题；由指数函数的性质知，任意x∈R,2＞0，则D为真命题．故选C.]
3．已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题綈p，綈q，p或q，p 且q中真命题的个数为( )
A．1 C．3
B．2 D．4
3
32222
2
xxB [p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p或q，
p且q都是真命题．]
4．命题“实数的平方都是正数”的否定是________．
存在一个实数的平方不是正数 [全称命题的否定是特称命题，故应填：存在一个实数的平方不是正数．]
考点1 全称命题、特称命题
(1)全称命题与特称命题的否定
①改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．
②否定结论：对原命题的结论进行否定． (2)全称命题与特称命题真假的判断方法 命题名称 全称命题 特称命题 真假 真 假 真 判断方法一 所有对象使命题真 存在一个对象使命题假 存在一个对象使命题真 判断方法二 否定为假 否定为真 否定为假 全称命题、特称命题的否定 (1)(2019·西安模拟)命题“任意x＞0，
A．存在x＜0，C．任意x＞0，
xx－1
＞0”的否定是( )
xxx－1x－1
≤0 ≤0
xB．存在x＞0,0≤x≤1 D．任意x＜0,0≤x≤1
(2)已知命题p：存在m∈R，f(x)＝2－mx是增函数，则綈p为
( )
A．存在m∈R，f(x)＝2－mx是减函数 B．任意m∈R，f(x)＝2－mx是减函数 C．存在m∈R，f(x)＝2－mx不是增函数 D．任意m∈R，f(x)＝2－mx不是增函数 (1)B (2)D [(1)因为所以x＜0或x＞1， 所以
xxxxxx－1
＞0，
xx－1
＞0的否定是0≤x≤1，
所以命题的否定是存在x＞0,0≤x≤1，故选B.
(2)由特称命题的否定可得綈p为“任意m∈R，f(x)＝2－mx不 是增函数”．]
全(特)称命题的否定方法：任意x∈M，p(x)
简记：改量词，否结论．
全称命题、特称命题的真假判断 (1)下列命题中的假命题是( )
A．任意x∈R，x≥0 B．任意x∈R,2
x－12
x互否
存在x0∈M，綈p(x0)，
＞0
C．存在x0∈R，lg x0＜1
D．存在x0∈R，sin x0＋cos x0＝2 (2)下列四个命题：
p1：存在x0∈(0，＋∞)，??0＜??0；
23p2：存在x0∈(0,1)，log1 x0＞log1 x0；
2
3
?1?x???1? x??
p3：任意x∈(0，＋∞)，??x＞log1 x；
2
2
?1???
p4：任意x∈?0，?，??x＜log1 x.
32
3
其中的真命题是( ) A．p1，p3 C．p2，p3
B．p1，p4 D．p2，p4
x－1
??
1?
?1????
(1)D (2)D [(1)A显然正确；由指数函数的性质知2＞0恒成立，所以B正确；当
?π?0＜x＜10时，lg x＜1，所以C正确；因为sin x＋cos x＝2sin?x＋?，所以－2≤sin
4??
x＋cos x≤2，所以D错误．
?1?x?1?x(2)对于p1，当x0∈(0，＋∞)时，总有??0＞??0成立，故p1是假命题；对于p2，当
?2??3?
x0＝时，有1＝log1 ＝log1 ＞log1 成立，故p2是真命题；对于p3，结合指数函数y2
3
3
12
12
13
12
?1?x＝??与对数函数y＝log1 x在(0，＋∞)上的图像，可以判断p3是假命题；对于p4，结合?2?
2?1?x?1?指数函数y＝??与对数函数y＝log1 x在?0，?上的图像可以判断p4是真命题．] ?2??3?
3
因为命题p与綈p的真假性相反，因此不管是全称命
题，还是特称命题，当其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假．
1.命题“任意n∈N＋，f(n)∈N＋且f(n)≤n”的否定形式是( )
A．任意n∈N＋，f(n)?N＋且f(n)＞n B．任意n∈N＋，f(n)?N＋或f(n)＞n C．存在x0∈N＋，f(n0)?N＋且f(n0)＞n0 D．存在n0∈N＋，f(n0)?N＋或f(n0)＞n0
D [“f(n)∈N＋且f(n)≤n”的否定为“f(n)?N＋或f(n)＞n”，全称命题的否定为特