立体几何中的折叠问题、最值问题和探索性问题

对立体几何中的折叠问题、最值问题和探索性问题，要求学生要有较强的空间想象力和准确的计算运算能力，才能顺利解答．从实际教学和考试来看，学生对这类题看到就头疼．分析原因，首先是学生的空间想象力较弱，其次是学生对这类问题没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理．本文就高中阶段学习和考试出现这类问题加以总结的探讨． 1 立体几何中的折叠问题

折叠问题是立体几何的两个重要问题，这两种方式的转变正是空间几何与平面几何问题转化的集中体现.处理这类题型的关键是抓住两图的特征关系.折叠问题是立体几何的一类典型问题是实践能力与创新能力考查的好素材.解答折叠问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形，并弄清折叠前后哪些发生了变化，哪些没有发生变化.这些未变化的已知条件都是我们分析问题和解决问题的依据.而表面展开问题是折叠问题的逆向思维、逆过程，一般地，涉及到多面体表面的问题，解题时不妨将它展开成平面图形试一试. 例１【黑龙江省七台河市2018届期末联考】如图所示，平面图形ABCDFE中，其中矩形ABCD的边长分别为AB?3， BC?8，等腰梯形ADFE的边长分别为AE?5， EF?2.现将该平面图形沿着AD折叠，使梯形ADFE与矩形ABCD垂直，再连接BE,CF，得到如图所示的空间图形，对此空间图形解答如下问题：

（1）证明： AB?DF；

（2）求平面ABE与平面CDF所成锐二面角的余弦值.

思路分析：（1）因为AB?AD，根据面面垂直的性质，可证明AB?平面ADFE，即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求平面ABE的法向量及平面CDF的法向量，利用法向量夹角即可求出.

解法二：建立如图所示的空间直角坐标系，（1）则O?0,0,0?， A?0,?3,0?， B?3,?3,0?， D?0,5,0?，

F?0,2,4?， E?0,0,4?.AB??3,0,0?， DF??0,?3,4?，∵AB?DF? 3?0?0???3??0?4?0，

∴AB?DF.

3x?0, ， （2）设平面ABE的法向量为v??x,y,z?，则{ ，即{3y?4z?0v?AE?0v?AB?0,不妨取y??4，则v??0,?4,3?.同理可得平面CDF的法向量为u??0,4,3?.

cosv,u?0?0???4??4?3?37v·u7?.二面角A?PB?C的角的余弦值为. ?

vu255?525点评：本题考查了直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质，以折叠问题为载体，折叠问题是考查学生空间想象能力的较好载体.如本题，不仅要求学生象解常规立几综合题一样懂得线线，线面和面面垂直的判定方法及相互转化，还要正确识别出折叠而成的空间图形，更要识得折前折后有关线线、线面位置的变化情况以及有关量（边长与角）的变化情况，否则无法正确解题．这正是折叠问题的价值之所在．在求二面角时，如果根据定义要作出二面角的平面角，并证明，然后计算，要求较高，一般是寻找图形中的两两垂直的三条直线，建立空间直角坐标系，用空间向量法来求这个角．设n1,n2分别是平面?,?的法向量，设

二面角??l??的大小为?，则cos?n1,n2??n1?n2n1n2?cos?．用这种方法求解时要注意判断二面角

的大小，即判断二面角是锐角不是钝角． 2 立体几何中的最值问题

解决空间图形有关的线段、角、距离、面积、体积等最值问题，通常应注意分析题目中所有的条件，首先应该在充分理解题意的基础上，分析是否能用公理与定义直接解决题中问题;如果不能，再看是否可将问题条件转化为函数，若能写出确定的表意函数，则可用建立函数法求解;再不能，则要考虑其中是否存在不等关系，看是否能运用解等不式法求解;还不行则应考虑是否可将其体图展开成平面，这样依次顺序思考，基

本可以找到解题的途径．

例2 在四棱锥P?ABCD中，设底面ABCD是边长为1的正方形，PA?面ABCD.

（1）求证：PC?BD；

（2）过BD且与直线PC垂直的平面与PC交于点E，当三棱锥E?BCD的体积最大时，求二面角

E?BD?C的大小.

思路分析：（1）要证线线垂直，可利用线面垂直的性质定理，即先证线面垂直，题中由正方形有BD?AC，由已知线面垂直有BD?PA，从而可证BD与平面PAC垂直，从而得证题设结论；（2）求二面角，一般建立空间直角坐标系，用空间向量法求解，题中有AB,AD,AP两两垂直，以他们为坐标轴建立空间直角坐标系，由三棱锥E?BDC体积最大时，求得PA的长，然后写出各点坐标，同时计算出E点坐标，求得平面EBD和平面CBD的法向量，求出法向量夹角，可观察出此二面角为锐角，从而得二面角．

E(x,y,z)，PE??PC，BE?PC，得??

3323

)，设n?(x',y',z')是平面EBD的一，∴E(,,?4444

.又AP?(0,0,2)是

?132?n?BD?01,1,2))，则?个法向量，BD?(?1,1,0)，BE?(?,,?，得n?(444??n?BE?0平面BCD的一个法向量，∴cos?n,AP??2?，∴二面角E?BD?C为. 24点评：立体几何中经常碰到求最值问题，不少学生害怕这类问题，主要原因是难以将立体几何问题转化为平面几何问题或代数问题去求解，对立体几何的最值问题，一般可以从两方面着手：一是从问题的几何特征入手，充分利用其几何性质去解决；二是找出问题中的代数关系，建立目标函数，利用代数方法求目标函数的最值．解题途径很多，在函数建成后，可用一次函数的端点法、二次数的配方法、公式法、有界函