专题05 函数的单调性与最值

1.利用函数的单调性求单调区间，比较大小，解不等式； 2.利用函数单调性求最值和参数的取值范围； 3.与导数交汇命题，以解答题形式考查．

拼十年寒窗挑灯苦读不畏难；携双亲期盼背水勇战定夺魁。如果你希望成功，以恒心为良友，以经验为参谋，以小心为兄弟，以希望为哨兵。 1．函数单调性的定义

增函数 减函数 设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M?A，如果取区间M中任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1>0，则当 定义 Δy＝f(x2)－f(x1)>0时，Δy＝f(x2)－f(x1)<0时，就称函数y＝f(x)在区间就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数 M上是增函数 图象 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 2.单调性与单调区间

如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间． 【特别提醒】

1．函数的单调性是局部性质

函数的单调性，从定义上看，是指函数在定义域的某个子区间上的单调性，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调． 2．函数的单调区间的求法

函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等；

如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间．

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3．单调区间的表示

单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．

高频考点一 确定函数的单调性(区间)

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例1、(1)函数f(x)＝log(x－4)的单调递增区间为( )

2A．(0，＋∞)

B．(－∞，0) C．(2，＋∞)

D．(－∞，－2)

(2)试讨论函数f(x)＝

axx－1

(a≠0)在(－1，1)上的单调性．

答案 D

(2)解 法一 设－1

f(x)＝a?

?x－1＋1?＝a?1＋1?，

????x－1??x－1?

?

1?f(x1)－f(x2)＝a?1＋?－a?1＋?

?x1－1??x2－1?

＝

?

1?

a（x2－x1）

，

（x1－1）（x2－1）

由于－1

所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，

故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)， 函数f(x)在(－1，1)上递减；

当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)

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（ax）′（x－1）－ax（x－1）′

法二 f′(x)＝ 2

（x－1）＝

a（x－1）－axa＝－22. （x－1）（x－1）

当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1，1)上递减； 当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1，1)上递增.

【方法规律】(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如例1(1)． (2)函数单调性的判断方法有：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法． (3)函数y＝f(g(x))的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则．

【变式探究】 判断函数f(x)＝x＋(a>0)在(0，＋∞)上的单调性，并给出证明． 解 f(x)在(0，a]上是减函数，在[a，＋∞)上是增函数． 证明如下：

ax

所以函数f(x)在[a，＋∞)上是增函数．

综上可知，函数f(x)＝x＋(a>0)在(0，a]上是减函数，在[a，＋∞)上为增函数． 法二 f′(x)＝1－2，令f′(x)>0，则1－2>0， 解得x>a或x<－a(舍)．

令f′(x)<0，则1－2<0，解得－a0，∴0

∴f(x)在(0，a]上为减函数，在[a，＋∞)上为增函数．

axaxaxax - 3 -