(名师导学)2020版高考数学总复习第二章函数第9讲二次函数与幂函数练习理(含解析)新人教A版 下载本文

第9讲 二次函数与幂函数

夯实基础 【p19】

【学习目标】

1.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质; 2.会求二次函数的值域与最值;

3.运用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式“三个二次”之间的联系去解决有关问题;

1

1

4.了解幂函数的概念,结合函数y=x,y=x,y=x,y=,y=x2的图象和性质解决

x

2

3

有关问题.

【基础检测】

?1?1.函数y=???x?

-3

的图象是( )

?1?【解析】函数y=???x?

-31113

可化为y=x,当x=时,求得y=<,选项B,D不合题意,

282

可排除选项B,D;当x=2时,求得y=8>1,选项A不合题意,可排除选项A,故选C.

【答案】C

2.幂函数y=kx过点(4,2),则k-α的值为( )

α

A.-1 B. C.1 D.

1

1

232

【解析】由幂函数的定义得k=1.所以y=x,

1α2α

因为幂函数经过点(4,2),所以2=4=2,∴2α=1,∴α=.

211

所以k-α=1-=. 22【答案】B

3.已知函数f(x)=-x+4x+a,x∈[0,1],若f(x)有最小值-2,则f(x)的最大值2

α

为( )

A.-1 B.0 C.1 D.2

【解析】函数f(x)=-x2

+4x+a=-(x-2)2

+a+4, ∵x∈[0,1],

∴函数f(x)=-x2

+4x+a在[0,1]单调递增, ∴当x=0时,f(x)有最小值f(0)=a=-2, 当x=1时,f(x)有最大值f(1)=3+a=3-2=1. 【答案】C

4.已知函数f(x)=x2-2ax-3在区间[1,2]上单调递增,则实数a的取值范围是( A.(-∞,1) B.(-∞,1] C.(2,+∞) D.[2,+∞)

【解析】函数f(x)=x2

-2ax-3为对称轴x0=a开口向上的二次函数, ∵在区间[1,2]上单调递增,

∴区间[1,2]在对称轴x0=a的右边,即a≤1, ∴实数a的取值范围是(-∞,1]. 【答案】B

5.已知函数f(x)=x2-2ax+b(a>1)的定义域和值域都为[1,a],则b=________.【解析】函数f(x)=x2

-2ax+b(a>1)的对称轴方程为x=--2a2=a>1,

所以函数f(x)=x2

-2ax+b在[1,a]上为减函数, 又函数在[1,a]上的值域也为[1,a],

则???f(1)=a,??1-2a+b??f(a)=1,即?=a,①??

a2-2a2

+b=1,② 由①得:b=3a-1,代入②得:a2

-3a+2=0, 解得:a=1(舍),a=2.

)

2

把a=2代入b=3a-1得b=5. 【答案】5 【知识要点】 1.二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式:f(x)=ax+bx+c(a≠0). ②顶点式:f(x)=a(x-m)+n(a≠0). ③零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0). (2)二次函数的图象和性质

解析式 f(x)=ax+bx+c(a>0) 22

2

f(x)=ax+bx+c(a<0) 2 图象 定义域 值域 单调性 b??在x∈?-∞,-?上单调2a??递减 (-∞,+∞) (-∞,+∞) ?4ac-b,+∞? ?4a??? b??在x∈?-∞,-?上单调2a??递增 2?-∞,4ac-b? ??4a?? 2 ?b?在x∈?-,+∞?上单调?2a?递增 ?b?在x∈?-,+∞?上单调?2a?递减 b函数的图象关于x=-对2a称 对称性 2.幂函数

(1)定义:形如y=x(α∈R)的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数. (2)幂函数的图象比较

α

3

(3)幂函数的性质

①幂函数在(0,+∞)上都有定义; ②幂函数的图象过定点(1,1);

③当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增; ④当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减. 3.二次函数在闭区间上的最值

若a>0,二次函数f(x)=ax+bx+c在闭区间[p,q]上的最大值为M,最小值为N.令1

x0=(p+q),

2

b

①若-

2ab

②若->q,则M=f(p),N=__f(q)__;

2ab?b?③若p≤-≤x0,则M=f(q),N=__f?-?__; 2a?2a?b?b?④若x0<-≤q,则M=f(p),N=f?-?. 2a?2a?4.根与系数的关系

二次函数f(x)=ax+bx+c(a≠0),当Δ=b-4ac>0时,图象与x轴有两个交点M1(x1,b

x+x=-,??a

0),M(x,0),这里的x,x是方程f(x)=0的两根,且?

c

??x·x=a,

1

2

2

2

1

2

1

2

2

2

2

|M1M2|=|x1-x2|=

Δ

. |a|

典 例 剖 析 【p20】

考点1 幂函数的图象与性质

?1?

例1(1)当α∈?-1,,3?时,幂函数y=xα的图象不可能经过的象限是( )

2??

4