第9讲 二次函数与幂函数
夯实基础 【p19】
【学习目标】
1．理解并掌握二次函数的定义、图象及性质； 2．会求二次函数的值域与最值；
3．运用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式“三个二次”之间的联系去解决有关问题；
1
1
4．了解幂函数的概念，结合函数y＝x，y＝x，y＝x，y＝，y＝x2的图象和性质解决
x
2
3
有关问题．
【基础检测】
?1?1．函数y＝???x?
－3
的图象是( )
?1?【解析】函数y＝???x?
－31113
可化为y＝x，当x＝时，求得y＝<，选项B，D不合题意，
282
可排除选项B，D；当x＝2时，求得y＝8>1，选项A不合题意，可排除选项A，故选C.
【答案】C
2．幂函数y＝kx过点(4，2)，则k－α的值为( )
α
A．－1 B. C．1 D.
1
1
232
【解析】由幂函数的定义得k＝1.所以y＝x，
1α2α
因为幂函数经过点(4，2)，所以2＝4＝2，∴2α＝1，∴α＝.
211
所以k－α＝1－＝. 22【答案】B
3．已知函数f(x)＝－x＋4x＋a，x∈[0，1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值2
α
为( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
【解析】函数f(x)＝－x2
＋4x＋a＝－(x－2)2
＋a＋4， ∵x∈[0，1]，
∴函数f(x)＝－x2
＋4x＋a在[0，1]单调递增， ∴当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝a＝－2， 当x＝1时，f(x)有最大值f(1)＝3＋a＝3－2＝1. 【答案】C
4．已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1，2]上单调递增，则实数a的取值范围是( A．(－∞，1) B．(－∞，1] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
【解析】函数f(x)＝x2
－2ax－3为对称轴x0＝a开口向上的二次函数， ∵在区间[1，2]上单调递增，
∴区间[1，2]在对称轴x0＝a的右边，即a≤1， ∴实数a的取值范围是(－∞，1]． 【答案】B
5．已知函数f(x)＝x2－2ax＋b(a>1)的定义域和值域都为[1，a]，则b＝________．【解析】函数f(x)＝x2
－2ax＋b(a＞1)的对称轴方程为x＝－－2a2＝a>1，
所以函数f(x)＝x2
－2ax＋b在[1，a]上为减函数， 又函数在[1，a]上的值域也为[1，a]，
则???f（1）＝a，??1－2a＋b??f（a）＝1，即?＝a，①??
a2－2a2
＋b＝1，② 由①得：b＝3a－1，代入②得：a2
－3a＋2＝0， 解得：a＝1(舍)，a＝2.
)
2
把a＝2代入b＝3a－1得b＝5. 【答案】5 【知识要点】 1．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)． ②顶点式：f(x)＝a(x－m)＋n(a≠0)． ③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． (2)二次函数的图象和性质
解析式 f(x)＝ax＋bx＋c(a>0) 22
2
f(x)＝ax＋bx＋c(a<0) 2 图象 定义域 值域 单调性 b??在x∈?－∞，－?上单调2a??递减 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) ?4ac－b，＋∞? ?4a??? b??在x∈?－∞，－?上单调2a??递增 2?－∞，4ac－b? ??4a?? 2 ?b?在x∈?－，＋∞?上单调?2a?递增 ?b?在x∈?－，＋∞?上单调?2a?递减 b函数的图象关于x＝－对2a称 对称性 2.幂函数
(1)定义：形如y＝x(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)幂函数的图象比较
α
3
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②幂函数的图象过定点(1，1)；
③当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ④当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减． 3．二次函数在闭区间上的最值
若a＞0，二次函数f(x)＝ax＋bx＋c在闭区间[p，q]上的最大值为M，最小值为N.令1
x0＝(p＋q)，
2
b
①若－ 2ab ②若－>q，则M＝f(p)，N＝__f(q)__； 2ab?b?③若p≤－≤x0，则M＝f(q)，N＝__f?－?__； 2a?2a?b?b?④若x0<－≤q，则M＝f(p)，N＝f?－?. 2a?2a?4．根与系数的关系 二次函数f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)，当Δ＝b－4ac＞0时，图象与x轴有两个交点M1(x1，b x＋x＝－，??a 0)，M(x，0)，这里的x，x是方程f(x)＝0的两根，且? c ??x·x＝a， 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 |M1M2|＝|x1－x2|＝ Δ . |a| 典 例 剖 析 【p20】 考点1 幂函数的图象与性质 ?1? 例1(1)当α∈?－1，，3?时，幂函数y＝xα的图象不可能经过的象限是( ) 2?? 4