三个方面入手考虑应满足的条件．

方 法 总 结 【p21】

1．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否会出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．

2．利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧

在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，转化为同指数幂，再选择适当的函数，借助其单调性进行比较．

3．二次函数、一元二次不等式和一元二次方程是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的关系，运用函数方程的思想、方法将它们进行转化，这是准确迅速解决此类问题的关键．

4．对二次函数y＝ax＋bx＋c(a≠0)在[m，n]的最值的研究是本讲内容的重点，对如下结论必须熟练掌握：

b4ac－b

(1)当x＝－∈[m，n]时，是它的一个最值，另一个最值在区间端点取得．

2a4ab

(2)当x＝－?[m，n]时，最大值和最小值分别在区间的两个端点处取得．

2a

(3)二次函数在某个区间上的最值问题的处理，常常要利用数形结合的思想和分类讨论的思想，当二次函数的表达式中含有参数或所给区间是变化的，需要考察二次函数的图象特征(开口方向、对称轴与该区间的位置关系)，抓住顶点的横坐标是否属于该区间，结合函数的单调性进行分类讨论和求解．

5．二次函数问题大多通过数形结合求解，同时注意分类讨论和等价转化．

2

2

走 进 高 考 【p21】

1．(2017·山东)已知当x∈[0，1]时，函数y＝(mx－1)的图象与y＝x＋m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是( )

A．(0，1]∪[23，＋∞) B．(0，1]∪[3，＋∞) C．(0，2]∪[23，＋∞) D．(0，2]∪[3，＋∞)

2

9

1222

【解析】当0

m1

y＝x＋m单调递增，且y＝x＋m∈[m，1＋m]，此时有且仅有一个交点；当m>1时，0<<1，

m

?1?22

y＝(mx－1)在?，1?上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需(m－1)≥1＋m?m≥3，选

?m?

B.

【答案】B

考 点 集 训 【p185】

A组题

1．已知幂函数f(x)的图象经过点(4，2)，则幂函数f(x)具有的性质是( ) A．在其定义域上为增函数 B．在其定义域上为减函数 C．奇函数 D．定义域为R

【解析】设幂函数f(x)＝x，∵幂函数的图象过点(4，2)， 1α∴4＝2，∴α＝，

21

∴f(x)＝x2(x≥0)，

∴由f(x)的性质知，f(x)是非奇非偶函数，值域为[0，＋∞)， 在定义域内无最大值，在定义域内单调递增． 【答案】A

2．已知函数f(x)＝x＋bx＋c的图象的对称轴是x＝1，并且经过点A(3，0)，则f(－1)

2

α＝( )

A．6 B．2 C．0 D．－4 【解析】f(x)＝x＋bx＋c，

2

－bb对称轴为x＝＝－＝1，得b＝－2，

2×12过A(3，0)，知f(3)＝9＋3b＋c＝9－6＋c＝0， ∴c＝－3，

∴f(x)＝x－2x－3，

2

10

∴f(－1)＝1＋2－3＝0. 【答案】C

3．若函数f(x)＝x＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4)内不是单调函数，则实数a的取值范围是( )

A．(－∞，－3] B．(－∞，－3) C．(－3，＋∞) D．[－3，＋∞)

【解析】函数f(x)＝x＋2(a－1)x＋2是一个开口向上的二次函数，对称轴为x＝1－a， ∵函数f(x)＝x＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4)内不是单调函数， ∴1－a<4，即a>－3，

实数a的取值范围是(－3，＋∞)． 【答案】C

2

22

?3?2

4．二次函数f(x)＝ax＋bx＋c(x∈R)的最小值为f(1)，则f(2)，f?－?，f(3)的

?2?

大小关系是( )

?3?A．f(2)

【解析】因为二次函数有最小值，所以a>0， 所以对称轴为x＝1，

?3?所以与对称轴的距离分别为|2－1|、?－－1?、|3－1|， ?2??3?大小关系为|2－1|＜|3－1|

【答案】D

5．已知函数f(x)＝(3－m)x2m－5

?1?是幂函数，则f??＝________. ?2?

2m－5

【解析】∵函数f(x)＝(3－m)x是幂函数，可得3－m＝1，即m＝2，

?1??1?∴函数f(x)＝x，f??＝???2??2?

－1

－1

＝2.

11

【答案】2

1??2

6．已知函数y＝f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)＝(x－1)，若当x∈?－2，－?时，

2??

n≤f(x)≤m恒成立，则m－n的最小值为________．

【解析】当x<0时，－x>0，f(x)＝f(－x)＝(x＋1)， 1??∵x∈?－2，－?，

2??

∴f(x)min＝f(－1)＝0，f(x)max＝f(－2)＝1， ∴m≥1，n≤0，m－n≥1.∴m－n的最小值是1. 【答案】1

7．设二次函数f(x)＝ax＋bx－2，如果f(x1)＝f(x2) (x1≠x2)，则f(x1＋x2)＝__________．

【解析】由题意知，因为f(x1)＝f(x2)?x1＋x2＝－，

2

2

bab?b??b?所以f(x1＋x2)＝f?－?＝a·2＋b·?－?－2＝－2. a?a??a?

【答案】－2

8．已知二次函数f(x)＝2kx－2x－3k－2，x∈[－5，5]． (1)当k＝1时，求函数f(x)的最大值和最小值．

(2)若函数f(x)在区间[－5，5]上是单调函数，求实数k的取值范围． 12

【解析】(1)k＝1时，f(x)＝2x－2x－5，f(x)对称轴为x＝，

21???1?∴f(x)在?－5，?上单调递减，在?，5?上单调递增， 2???2?∴f(x)max＝f(－5)＝2×25＋10－5＝55，

2

2

f(x)min＝f??＝－1－5＝－6＝－. 2

(2)由于f(x)是二次函数，所以k≠0， 1

∵f(x)关于x＝对称，

2k∴要使f(x)在区间[－5，5]上是单调函数， 11

则必有≤－5或≥5，

2k2k11解得－≤k＜0或0＜k≤，

1010即实数k的取值范围是?－

?1?1??2

12112

?1，0?∪?0，1?.

????10??10?

12