(名师导学)2020版高考数学总复习第二章函数第9讲二次函数与幂函数练习理(含解析)新人教A版 下载本文

三个方面入手考虑应满足的条件.

方 法 总 结 【p21】

1.幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限,至于是否会出现在第二、三象限内,要看函数的奇偶性;幂函数的图象最多能同时出现在两个象限内;如果幂函数图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.

2.利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧

在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,转化为同指数幂,再选择适当的函数,借助其单调性进行比较.

3.二次函数、一元二次不等式和一元二次方程是一个有机的整体,要深刻理解它们之间的关系,运用函数方程的思想、方法将它们进行转化,这是准确迅速解决此类问题的关键.

4.对二次函数y=ax+bx+c(a≠0)在[m,n]的最值的研究是本讲内容的重点,对如下结论必须熟练掌握:

b4ac-b

(1)当x=-∈[m,n]时,是它的一个最值,另一个最值在区间端点取得.

2a4ab

(2)当x=-?[m,n]时,最大值和最小值分别在区间的两个端点处取得.

2a

(3)二次函数在某个区间上的最值问题的处理,常常要利用数形结合的思想和分类讨论的思想,当二次函数的表达式中含有参数或所给区间是变化的,需要考察二次函数的图象特征(开口方向、对称轴与该区间的位置关系),抓住顶点的横坐标是否属于该区间,结合函数的单调性进行分类讨论和求解.

5.二次函数问题大多通过数形结合求解,同时注意分类讨论和等价转化.

2

2

走 进 高 考 【p21】

1.(2017·山东)已知当x∈[0,1]时,函数y=(mx-1)的图象与y=x+m的图象有且只有一个交点,则正实数m的取值范围是( )

A.(0,1]∪[23,+∞) B.(0,1]∪[3,+∞) C.(0,2]∪[23,+∞) D.(0,2]∪[3,+∞)

2

9

1222

【解析】当0

m1

y=x+m单调递增,且y=x+m∈[m,1+m],此时有且仅有一个交点;当m>1时,0<<1,

m

?1?22

y=(mx-1)在?,1?上单调递增,所以要有且仅有一个交点,需(m-1)≥1+m?m≥3,选

?m?

B.

【答案】B

考 点 集 训 【p185】

A组题

1.已知幂函数f(x)的图象经过点(4,2),则幂函数f(x)具有的性质是( ) A.在其定义域上为增函数 B.在其定义域上为减函数 C.奇函数 D.定义域为R

【解析】设幂函数f(x)=x,∵幂函数的图象过点(4,2), 1α∴4=2,∴α=,

21

∴f(x)=x2(x≥0),

∴由f(x)的性质知,f(x)是非奇非偶函数,值域为[0,+∞), 在定义域内无最大值,在定义域内单调递增. 【答案】A

2.已知函数f(x)=x+bx+c的图象的对称轴是x=1,并且经过点A(3,0),则f(-1)

2

α=( )

A.6 B.2 C.0 D.-4 【解析】f(x)=x+bx+c,

2

-bb对称轴为x==-=1,得b=-2,

2×12过A(3,0),知f(3)=9+3b+c=9-6+c=0, ∴c=-3,

∴f(x)=x-2x-3,

2

10

∴f(-1)=1+2-3=0. 【答案】C

3.若函数f(x)=x+2(a-1)x+2在区间(-∞,4)内不是单调函数,则实数a的取值范围是( )

A.(-∞,-3] B.(-∞,-3) C.(-3,+∞) D.[-3,+∞)

【解析】函数f(x)=x+2(a-1)x+2是一个开口向上的二次函数,对称轴为x=1-a, ∵函数f(x)=x+2(a-1)x+2在区间(-∞,4)内不是单调函数, ∴1-a<4,即a>-3,

实数a的取值范围是(-3,+∞). 【答案】C

2

22

?3?2

4.二次函数f(x)=ax+bx+c(x∈R)的最小值为f(1),则f(2),f?-?,f(3)的

?2?

大小关系是( )

?3?A.f(2)

【解析】因为二次函数有最小值,所以a>0, 所以对称轴为x=1,

?3?所以与对称轴的距离分别为|2-1|、?--1?、|3-1|, ?2??3?大小关系为|2-1|<|3-1|

【答案】D

5.已知函数f(x)=(3-m)x2m-5

?1?是幂函数,则f??=________. ?2?

2m-5

【解析】∵函数f(x)=(3-m)x是幂函数,可得3-m=1,即m=2,

?1??1?∴函数f(x)=x,f??=???2??2?

-1

-1

=2.

11

【答案】2

1??2

6.已知函数y=f(x)是偶函数,当x>0时,f(x)=(x-1),若当x∈?-2,-?时,

2??

n≤f(x)≤m恒成立,则m-n的最小值为________.

【解析】当x<0时,-x>0,f(x)=f(-x)=(x+1), 1??∵x∈?-2,-?,

2??

∴f(x)min=f(-1)=0,f(x)max=f(-2)=1, ∴m≥1,n≤0,m-n≥1.∴m-n的最小值是1. 【答案】1

7.设二次函数f(x)=ax+bx-2,如果f(x1)=f(x2) (x1≠x2),则f(x1+x2)=__________.

【解析】由题意知,因为f(x1)=f(x2)?x1+x2=-,

2

2

bab?b??b?所以f(x1+x2)=f?-?=a·2+b·?-?-2=-2. a?a??a?

【答案】-2

8.已知二次函数f(x)=2kx-2x-3k-2,x∈[-5,5]. (1)当k=1时,求函数f(x)的最大值和最小值.

(2)若函数f(x)在区间[-5,5]上是单调函数,求实数k的取值范围. 12

【解析】(1)k=1时,f(x)=2x-2x-5,f(x)对称轴为x=,

21???1?∴f(x)在?-5,?上单调递减,在?,5?上单调递增, 2???2?∴f(x)max=f(-5)=2×25+10-5=55,

2

2

f(x)min=f??=-1-5=-6=-. 2

(2)由于f(x)是二次函数,所以k≠0, 1

∵f(x)关于x=对称,

2k∴要使f(x)在区间[-5,5]上是单调函数, 11

则必有≤-5或≥5,

2k2k11解得-≤k<0或0<k≤,

1010即实数k的取值范围是?-

?1?1??2

12112

?1,0?∪?0,1?.

????10??10?

12