(名师导学)2020版高考数学总复习第二章函数第9讲二次函数与幂函数练习理(含解析)新人教A版 下载本文

B组题

1.已知幂函数f(x)=(n+2n-2)xn-3n(n∈Z)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,则n=( )

A.-3 B.1或2 C.1 D.2

【解析】∵幂函数f(x)=(n+2n-2)xn-3n(n∈Z)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,

∴n+2n-2=1,n-3n为偶数,且n-3n<0, 解得n=1. 【答案】C

2.如图是二次函数y=ax+bx+c图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为x=-1.给出下面四个结论:

①b>4ac;②2a-b=1;③a-b+c=0;④5a

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2

2

A.②④ B.①④ C.②③ D.①③

【解析】①根据二次函数图象,可以确定二次函数y=ax+bx+c与x轴的必有两个交点,

即方程ax+bx+c=0有两个不相等的实数根, ∴Δ=b-4ac>0,即b>4ac,故①正确;

②∵对称轴x=-=-1,∴2a-b=0,故②错误;

2a③当x=-1时,由图象可知y=a-b+c≠0,故③错误; ④由对称轴x=-=-1,得b=2a,

2a又∵函数图象开口向下,∴a<0,5a<2a,即5a

2

2

2

2

bb?1??1?2

3.已知二次函数f(x)=ax+bx+c满足:f?-+x?=f?--x?,且f(x)<2x的解集

?4??4?

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3??为?-1,?. 2??

(1)求f(x)的解析式;

(2)设g(x)=f(x)-mx(m∈R),若g(x)在x∈[-1,2]上的最小值为-4,求m的值.

?1??1?【解析】(1)∵f?-+x?=f?--x?,

?4??4?

b1

∴-=-,即a=2b. ①

2a4

3??2

又∵f(x)<2x,即ax+(b-2)x+c<0的解集为?-1,?,

2??

32

∴-1和是ax+(b-2)x+c=0的两根,且a>0,

23b-2

∴-1+=-, ②

2a3c-1×=, ③

2a由①②③得a=2,b=1,c=-3,∴f(x)=2x+x-3. (2)g(x)=2x+(1-m)x-3,其对称轴方程为x=①若

2

2

m-1

4

m-1

4

<-1,即m<-3时,g(x)min=g(-1)=m-2,

由m-2=-4,得m=-2>-3,不符合题意; ②若-1≤

m-1

4

≤2,即-3≤m≤9时,g(x)min=g?

?m-1?=-4,解得m=1±22,符合

??4?

m∈[-3,9];

③若

m-1

4

>2,即m>9时,g(x)min=g(2)=7-2m,

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由7-2m=-4,得m=<9,不符合题意.

2综上得m=1±22.

4.已知二次函数f(x)=ax+bx(a,b为常数,且a≠0)满足条件:f(-x+5)=f(x-3)且方程f(x)=x有等根.

(1)求f(x)的表达式.

(2)是否存在实数m,n(m

【解析】(1)∵f(x)=ax+bx,且f(-x+5)=f(x-3), 令x=3,有f(-3+5)=f(3-3)=f(0)=0,

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2

2

∴f(2)=f(0)=4a+2b=0, ∴b=-2a,

又∵f(x)-x=ax2

+(b-1)x=0有等根,

Δ=(b-1)2-4a×0=0,

∴b=1,

∴a=-b1

2=-2

∴f(x)=-12

2

x+x.

(2)假设存在实数m,n(m

∵f(x)=-12x2+x=-12(x-1)2

+112≤2,

∴3n≤f(x)11

max=2,即n≤6,

又∵f(x)对称轴为x=1, ∴f(x)在[m,n]单调递增, ∴f(m)=3m,f(n)=3n,

解得m=0或m=-4,n=0或n=-4, 又∵m<n, ∴m=-4,n=0,

∴存在实数m=-4,n=0,使f(x)定义域和值域分别为[m,n]与[3m,3n].

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