B组题

1．已知幂函数f(x)＝(n＋2n－2)xn－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n＝( )

A．－3 B．1或2 C．1 D．2

【解析】∵幂函数f(x)＝(n＋2n－2)xn－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，

∴n＋2n－2＝1，n－3n为偶数，且n－3n<0， 解得n＝1. 【答案】C

2．如图是二次函数y＝ax＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：

①b>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a

2

2

2

2

2

2

2

2

2

A．②④ B．①④ C．②③ D．①③

【解析】①根据二次函数图象，可以确定二次函数y＝ax＋bx＋c与x轴的必有两个交点，

即方程ax＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝b－4ac>0，即b>4ac，故①正确；

②∵对称轴x＝－＝－1，∴2a－b＝0，故②错误；

2a③当x＝－1时，由图象可知y＝a－b＋c≠0，故③错误； ④由对称轴x＝－＝－1，得b＝2a，

2a又∵函数图象开口向下，∴a<0，5a<2a，即5a

2

2

2

2

bb?1??1?2

3．已知二次函数f(x)＝ax＋bx＋c满足：f?－＋x?＝f?－－x?，且f(x)<2x的解集

?4??4?

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3??为?－1，?. 2??

(1)求f(x)的解析式；

(2)设g(x)＝f(x)－mx(m∈R)，若g(x)在x∈[－1，2]上的最小值为－4，求m的值．

?1??1?【解析】(1)∵f?－＋x?＝f?－－x?，

?4??4?

b1

∴－＝－，即a＝2b. ①

2a4

3??2

又∵f(x)<2x，即ax＋(b－2)x＋c<0的解集为?－1，?，

2??

32

∴－1和是ax＋(b－2)x＋c＝0的两根，且a>0，

23b－2

∴－1＋＝－， ②

2a3c－1×＝， ③

2a由①②③得a＝2，b＝1，c＝－3，∴f(x)＝2x＋x－3. (2)g(x)＝2x＋(1－m)x－3，其对称轴方程为x＝①若

2

2

m－1

4

，

m－1

4

<－1，即m<－3时，g(x)min＝g(－1)＝m－2，

由m－2＝－4，得m＝－2>－3，不符合题意； ②若－1≤

m－1

4

≤2，即－3≤m≤9时，g(x)min＝g?

?m－1?＝－4，解得m＝1±22，符合

??4?

m∈[－3，9]；

③若

m－1

4

>2，即m>9时，g(x)min＝g(2)＝7－2m，

11

由7－2m＝－4，得m＝<9，不符合题意．

2综上得m＝1±22.

4．已知二次函数f(x)＝ax＋bx(a，b为常数，且a≠0)满足条件：f(－x＋5)＝f(x－3)且方程f(x)＝x有等根．

(1)求f(x)的表达式．

(2)是否存在实数m，n(m

【解析】(1)∵f(x)＝ax＋bx，且f(－x＋5)＝f(x－3)， 令x＝3，有f(－3＋5)＝f(3－3)＝f(0)＝0，

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2

2

∴f(2)＝f(0)＝4a＋2b＝0， ∴b＝－2a，

又∵f(x)－x＝ax2

＋(b－1)x＝0有等根，

Δ＝(b－1)2－4a×0＝0，

∴b＝1，

∴a＝－b1

2＝－2

，

∴f(x)＝－12

2

x＋x.

(2)假设存在实数m，n(m

∵f(x)＝－12x2＋x＝－12(x－1)2

＋112≤2，

∴3n≤f(x)11

max＝2，即n≤6，

又∵f(x)对称轴为x＝1， ∴f(x)在[m，n]单调递增， ∴f(m)＝3m，f(n)＝3n，

解得m＝0或m＝－4，n＝0或n＝－4， 又∵m＜n， ∴m＝－4，n＝0，

∴存在实数m＝－4，n＝0，使f(x)定义域和值域分别为[m，n]与[3m，3n]．

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