2012年数学建模提高班讲义 灰色理论建模专题 主讲：饶从军 副教授（博士后）

灰色理论建模

1 灰色系统发展概况

1982年北荷兰出版公司期刊System & Control Letter发表了邓聚龙教授的论文“Control Problems of Grey Systems”，宣告了灰色系统理论的诞生。经过整整20多年的发展，目前这一理论已成为一门新兴的边缘学科，应用日益广泛。据1997年11月26日《中国科学报》在“中国有了自己的科学引文数据库”一文中报道：1989年至1996年，灰色系统理论被引用533次，居全国之先；2000年1月14日《科学时报》第四版，中国科学引文数据库CSCD在“全国论文与专著被引用频次在60次以上的著者”中报道，邓聚龙教授的论著以被引用143次，居全国榜首。2002年3月24-26日在美国匹兹堡召开的系统与控制世界组织(WOSC)12届年会和国际一般系统研究会(IIGSS)4届年会联合大会上，由于在灰色系统理论研究中取得的创造性成果，中国的刘思峰教授同波兰科学院院士巴布尼茨基（Zdzislaw Bubnicki）教授和国际一般系统研究会主席福雷斯特（Jeffrey Forrest ）教授共同获得系统与控制世界组织突出贡献奖。 1.1 灰理论的特点与作用

千百年来,人类为认识客观世界而不断地探索,但是,由于人的认识是一个无限的过程,因此对许多事物或系统的认识是不完全的,也是若明若暗的,这种系统信息的不完全性、不确定性即为灰性.灰理论把人的思维、思维的成果、人的经验、知识、智慧以及各种情报、资料和信息统统集成起来,从多方面的定量认识上升到定性认识,达到从整体上研究和解决问题的目的,是科学方法论上的重大进展,具有重要的科学意义和深远的学术影响。

灰理论以“部分信息已知，部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定性系统为研究对象，主要通过对“部分”已知信息的生成、开发，提取有价值的信息，实现对系统运行行为、演化规律的正确描述和有效监控。灰理论经过20多年的发展，已基本建立起一门新兴学科的结构体系。其主要内容包括以灰色朦胧集为基础的理论体系，以灰色关联空间为依托的分析体系，以灰色序列生成为基础的方法体系，以灰色模型（GM）为核心的模型体系，以系统分析、评估、建模、预测、决策、控制、优化为主体的技术体

1

2012年数学建模提高班讲义 灰色理论建模专题 主讲：饶从军 副教授（博士后）

系。其理论基础是灰朦胧集；方法基础是系统科学和数学；实践基础是系统工程应用；哲学基础是马克思主义认识论和实践论。灰色系统理论是研究不确定性问题的方法论上的创新，从方法论层次来看,其特点和对“少数据不确定性”系统研究的指导作用主要体现如下：

一、研究路线

灰色系统理论采取了从整体到部分再由部分到整体,把宏观和微观结合起来,从不同方位、不同角度来研究问题.也就是说,灰色系统理论的思维方式是多视角.对于少数据不确定性问题,由于是有限维问题,不可能象概率与数理统计那样重复再现,也不可能象模糊数学那样外延量化,只能从多角度、多方位来挖掘系统的内在规律。

灰模型的建立过程就是这样.经典的数学模型大都是用微分方程来表示的,它适合连续可微的对象.对于不确定性系统的行为特征—序列,首先是不连续的,更谈不上可微性.再者,微分方程属于无穷信息空间,而有限序列是有穷信息空间。因此,用序列作微分建模时,首先从序列的角度了解一个真正的微分方程模型应该满足哪些条件,然后分析现有序列是否满足这些条件,对那些可以近似地满足微分模型构成条件的序列,建立近似的微分方程模型。

二、技术路线

灰色系统理论的依据是信息覆盖,依靠信息覆盖去描述、分析、综合、处置信息不完全、不确定的灰对象.信息覆盖的内涵是指用一组信息去包容、覆盖给定的命题,也就是利用已知的、不同方面的一些定量描述,通过灰生成手段来研究系统的性质,最终给出定性分析,找出现实规律,从而达到从实验、理论、研究的回答.例如要研究一个人的健康状况,首先找出与健康有关的因素,如血压、心跳、体温等等,也就是说如果利用这些信息构成一个集合,那么这个集合就可以大体上描述这个人的身体情况.当然,集合的构成越多,描述的则越详细。从这种意义上来说,集合的信息覆盖了健康状况。因此,通过研究集合的因素形态,就可以达到认识一个人健康状况的目的。

三、实现信息、知识、智慧的不断深化

信息、知识、智慧是三个不同层次的问题。有了信息，未必有知识，有了信息、知识也未必有智慧，信息的综合可以获得知识,信息、知识的综合可以获得智慧.灰色系统理论为了研究“少数据不确定性”系统,首先挖掘系统的有用信息,用信息覆盖来描述系统,

2

2012年数学建模提高班讲义 灰色理论建模专题 主讲：饶从军 副教授（博士后）

通过对信息的分类、加工及处理,找出系统的内部规律,使人们掌握研究事物的知识,获得开发系统的智慧。

在自然科学、数学科学等这些所谓“精密科学”中,是用严密的逻辑推理、精确的物理、化学和生物实验,来证明和验证经验性判断的正确与否,从而得出科学结论.但这种方法对一些系统问题,如社会系统中的问题既不是简单的逻辑推理能得出结论的,也不能直接进行社会实验.这就需要有新的方式来完成这个过程.灰色系统理论处理的过程是按照胚胎集→发育集→成熟集→实证集来完成的,也就是运用辨证思维的方式,从实验到理论再到研究的过程。

用模型和模型体系来描述系统是系统定量研究的有效方式。这种方式在自然科学、系统科学中被广泛使用.在系统科学中,对简单系统、大系统、简单巨系统的研究,几乎完全是基于数学模型.但需要指出的是,对系统建立模型,必须紧密结合系统实际,要基于对系统的真实了解,依据实际数据,提炼出系统内部的某些内在定量联系,将系统描述出来。为此,甚至借助于经验知识的帮助,而不是追求数学上的完美,这是一个经验与科学知识相结合的过程.因为数学上的完美性,并不一定代表系统的真实性。灰色模型是灰色系统理论的重要内容之一,不同于“白因白果率”的经典模型,它是少数据基于灰因白果率、差异信息原理、平射原理的建模,它既不是一般的函数模型,也不是完全的差分方程模型，或者完全的微分方程模型,而是具有部分差分、部分微分性质的模型。模型在关系上、性质上、内涵上具有不确定性。

在数据与信息体系、指标体系、模型体系的支持下，灰色系统理论依据信息认知原理、解的非唯一性原理、白化原理、灰性不灭原理、最少信息原理对少数据不确定性系统进行分析,使得信息、知识、智慧之间不断深化，从而达到认识、解决问题的目的。 2 灰色关联度理论

灰关联理论不仅是灰色系统理论的重要成果之一，而且是灰预测、灰建模、灰决策和灰控制的基石。下文将对数据变换的类型及性质进行讨论，建立点关联度理论，并对目前应用众多的关联度分析方法进行研究。 2.1 数据变换技术

为保证建模的质量与系统分析的正确结果，对收集来的原始数据必须进行数据变换和处理，使其消除量纲和具有可比性。

3