则等腰三角形之底边长为

PQ?4RHb，

R?H由此得 S1?2RHR?Hb?R。

再计算椭圆冠的面积S2，如图所示，以椭圆中心O?为圆

心作一半径为R?H2的辅助圆，连接P、Q并延长成为辅助

圆之弦MN，由于MN与椭圆长轴垂直，故其在圆及椭圆上

截出的两冠面积满足的关系为

?(R?HS??)2S?2??R?2H?R?H。 2?b2b其中圆冠面积为

S???1R?H2R2(2)?2arccos?HR?H?RH?R?H2， 故可计算椭圆冠部分面积S2为

S1R?HbRH(R?H)2?2b(R?H)?arccosR?H??R?H， 则图中阴影部分的总面积为S?S1?S2，即

S?12b(R?H)?arccosR?HR?H?bRH， ③

将①、③两式代入②式，然后利用t??t2便可最终计算得物体从抛出达到最高点所用时间

为

t?R?H?2GM??RH?(R?H)R?H?2?arccosR?H??。 上面问题的处理中，我们运用了天体的椭圆轨道模型，巧妙地运用开普勒天体运动学定律求

得结果。下面我们运用动力学规律与矢量方法讨论天体运动问题。

【例5】设想宇宙中有一由质量分别为m1、m2、??????、mN的星体1、2、??????、N构成的孤立星团，各星体空间位置间距离均为a，系统总质量为M由于万有引力的作用，N个星体将同时由静止开始运动。试问经过多长时间各星体将会相遇？

【分析与解】设系统的质心为O，由于系统不受外力作用而系统内各质点均受平方反比引力，根据系统的牛顿第二定律可知，系统的合加速度为零，用质量为

?mi、加速度为零的质点O来等效系统的运动，O称为系统的质心。而对

各质点而言，它们将最终相遇在质心所在位置。先研究质量为m1的质点1，它将受到其他各质点的引力F21、F31、??????、FN1，这些力均遵守万有引力定律，大小为Fii1?Gm1ma2；方向沿两质点连线而指向对方。如图所示，O为系统质心位置，r1、ri为质点1与质点i对质心O的位置矢径。由图可知，r1与ri两矢量差的大小为a，方

向同Fi1，故

Fi1?G即

m1mi(ri?r1)， a3F21?G??????

m1m2(r2?r1)； 3ammF31?G133(r3?r1)；

am1mN(rN?r1)； a32，???，N）为各质点对质心O位置的矢径。则，质点1所受合力为 上列各式中，ri（i?1，m1?F?G?1a3??m1r1?m2r2????????mNrN?(m1?m2???????mN)r1?。

?miri?0，即mr?0，则有

由于点O为质心，?iimmm1M??(m?m???????m)r??Gr1。 ?F1?Ga31?12N1?3?a若设矢量r1的大小为r1?ka，那么质点1所受其他质点引力之合力大小为

FN1?Gm1Mm1k3M?F1?Ga3ka?Gr2。

13由上式可知，质点工所受各质点引力之合力等效于在O点的质量为kM的质点对它发生的

ka引力，质点1在这个平方反比力作用下，在以O为一个焦点，以是为长半轴而短半轴逼

2近于零的“椭圆轨道”运动，初始位置为“远力心点”，经半个周期，到达“近力心点” O。

对于其他各质点，情况相同，故相遇经历时间为

ka3)Ta32t?????。 32GkM8GM(【例6】远点在木星轨道而绕日运行的彗星称为木星彗星，它的形成可看成是从无限远处落

向太阳的天体经木星吸引偏转而成为太阳的彗星，求其近日点。（已知木星的公转轨道半径为R）

【分析与解】我们首先将问题理想化为这样一个模型：从无限远处落向太阳的天体在木星轨道经与木星发生“弹性碰撞”改变运动方向进人绕日轨道，如图所示。这里，天体在无限远处的速度取为零，天体质量m远小于木星质量M，在与木星发生“弹性碰撞”时，只有木星与天体间的万有引力而不计其他外力，与木星远离后，则在太阳引力作用下做远地点与木星轨道相切的椭圆运动，成为绕日的彗星。

2M日Mv0?M 设木星公转速度为v0，公转轨道半径为R，由G可得 2RRMv0?G日；

R又由机械能守恒，天体从无限远处被太阳吸引到木星轨道附近时速度v满足

Mm12mv?G日?0， 2R则 v?2GM日?2v0。 R与木星相互作用过程，理想化为“完全弹性碰撞”，接近速度与分离速度大小相等，其中，接近速度大小为3v0（见图中矢量三角形），则分离速度大小亦为3v0，由于木星质量远大于天体质量，可认为其速度不变，则天体相对太阳的速度为v??(3?1)v0，这也是天体接着做绕日运动在远日点时的速度。此后，忽略远去的木星的作用，天体进入太阳彗星轨道，设其绕日轨道近日点距太阳r，过近日点时速度为v1，由机械能守恒有

Mm1Mm1mv?2?G日?mv12?G日，① 2R2r由角动量守恒有

mv?R?mv1r。 ②

由①、②两式消去01，并代入v??(3?1)v0得

r?3?1R。 2【例7】如图所示，地球沿半径为R0的圆轨道绕太阳运动，彗星绕太阳沿抛物线轨道运动。已知此抛物线与地球圆轨道一直径的两端相交，不计地球与彗星之间的引力，试求彗星在地球轨道内的运行时间。

【分析与解】本题中，彗星和地球均以太阳为环绕中心（即彗星抛物线轨道的焦点、地球圆轨道的圆心），图的坐标系中给出了两轨道关系。其中，O为太阳位置，C为抛物线顶点，OC0?R0；由抛物线性质可知，直线y?R0为抛物线准线，OC?R0。 2 根据开普勒第二定律，天体在运行中，其矢径在相同时间?t内扫过相同面积?S，那么，彗星沿抛物线轨道ACB从A运动到B历时t与彗星对太阳的矢径扫过的面积S（即图中划斜线部分）的关系是

S??S?t； ?t而地球沿圆轨道AC0B从A运动到B历时t0与地球对太阳的矢径扫过的面积S0的关系是

S0?比较面积S与S0、“面积速度”

?S0?t0。 ?t0?S?S0与，可得出t与t0的关系?t?t0而求得t。

如图，设地球在轨道C0处的速率为v0，彗星在C处速率为v。若太阳、彗星、地球质量依次为M、m、m0，彗星因机械能守恒，有关系式

12Mmmv?G?0， 2R0/2则 v?2GM； R02Mm0v0， G2?m0R0R0而地球绕日运行有关系式

则 v0?GM，即v?2v0。 R0?S? 设彗星以速率v通过其轨道顶点C历时?t（?t?0），这时其矢径扫过的面积为

R1v??t?0， ① 22而地球以速率v0通过其轨道顶点C0历时?t0（?t0?0），这时其矢径扫过的面积?S0为

1?S0?v0??t0?R0。 ②

2?Sv于是得 ?t??1。

?S02v0?t0 这就是说，两天体具有相同的“面积速度”。

至于S与S0，我们已经知道AB与抛物线ACB所围成的弓形面积为

S?1?R02， 2S4于是有 t?t0?t0。

S03?而半圆面积为 S0?R22?2R0?0?R02， 323由于地球绕日运动半个圆轨道历时t0?时间为

1a（地球年），那么，彗星在地球轨道以内运行的2t?2a。 3?【例8】一卫星在半径为厂的圆形轨道上绕地球运动，旋转周期为T，如果给卫星一个附加的径向速度un或一个附加的切向速度ut，卫星都将沿一个椭圆轨道运动。

⑴确定在上述两种情况中卫星的旋转周期；

⑵所附加的径向速度un和切向速度ut必须满足什么关系，才能使两种情况下，卫星旋转周期相等？

【分析与解】⑴卫星在半径为r的圆上运动时，速度大小为

2?rGM， ?Tr 式中M设为环绕中心天体的质量。当附加速度un为径向时（如图），根据机械能守恒

v?与角动量守恒有

121112(v?un)?V2?GM(?)， 22rrnv?r?V?rn，

则 rn?vr。 v?un上式中rn是“远地点”或“近地点”的矢径长，V为对应位置时的速度。若轨道的长半轴以an表示，可知

2an?(vv?)r v?unv?unv2即 an?2r， 2v?un由开普勒第三定律，卫星在新轨道的周期T0与在原轨道上周期关系为

Tnv23?(2) 2Tv?un4?2r2)3。 即 Tn?T(22224?r?unT当附加速度ut为切向时（如图），由于卫星初位置在椭圆轨道的“近地点”，以at表示新轨道长半轴，“远地点”的矢径长为2at?r，设对应的速度为V1，同样有

1111(v?ut)2?V12?GM(?)， 22r2at?rv?r?V1?(2at?r)，

v2则 at?2r， 2v?2vut?ut4?2r23)故 Tt?(22。 224?r?4?rutT?utT⑵要使Tn?Tt，根据开普勒第三定律，必须有an?at，即

2v2?un?v2?2vut?ut2

得径向速度un和切向速度ut须满足

2un?ut2?4?rut。 T

1、设有两个地球人造卫星M和N沿同一椭圆轨道运动，地球中心在这椭圆的一个焦点F上，又设M和N相距不远，因此可将椭圆弧看做直线。已知MN的中点经近地点时

MN?a，近地点到地心的距离为r，远地点到地心的距离为R，求M、N的中点经远地

点时两颗卫星间的距离。