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第十章 第3节 二项式定理
[基础训练组]
?21?n1．(导学号14577922)在?x－?的展开式中，常数项为15，则n的值可以为( )
?
x?
A．3 C．5
解析：D [∵Tr＋1＝Cn(x)
r2n－rB．4 D．6
?－1?r＝Cr(－1)rx2n－3r，∴Cr(－1)r＝15且2n－3r＝0，∴n可能是6.] ?x?nn??
2?6
3
?的展开式中x的系数为A，二项式系数为B，则B＝( ) x?
2．(导学号14577923)设?x－A．4 C．2
解析：A [Tk＋1＝C6xk6－x6
??
AB．－4 D．－2
3k3k?－2?kk222333
??＝C6(－2)x6－2，令6－2＝3，即k＝2，所以T3＝C6(－2)x＝60x，所以xx??
6
A602
的系数为A＝60，二项式系数为B＝C6＝15，所以＝＝4.]
B15
1?6?π
3．(导学号14577924)(2018·咸阳市二模)设a＝∫0sin xdx，则?ax＋?展开式的常数项为( )
?x?
A．－20 C．－160
B．20 D．240
1?6?1?6?ππ
解析：D [a＝∫0sin xdx＝(－cos x)|0＝－(cosπ－cos 0)＝2，则?ax＋?＝?2x＋?展开式的通项公
?x??x?
式为Tr＋1＝C6·(2x)D.]
r6－r33?1?r6－rr42
·??＝2·x3－r·C6.令3－r＝0得r＝2，∴展开式中的常数项为2·C6＝240.故选
22?x?
?1?n4．(导学号14577925)(2018·大庆市二模)在二项式?x－?的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开
?
x?
式中含x项的系数是( )
A．35 C．－56
B．－35 D．56
2
?1?n解析：C [∵在二项式?x－?的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，
?
x?
∴展开式中第5项是中间项，共有9项，∴n＝8. 展开式的通项公式为Tr＋1＝C8·x＝(－1)·C8·xrr8－2rr8－r?1?r·?－? ?x?
，
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令8－2r＝2，得r＝3，
∴展开式中含x项的系数是(－1)·C8＝－56.故选C.]
1?5?a??5．(导学号14577926)(2018·南平市一模)?x＋??2x－?的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项
xx2
3
3
????
为( )
A．－40 C．20
B．－20 D．40
1?5?1??2332
解析：D [令x＝1则有1＋a＝2，得a＝1，故二项式为?x＋??2x－?，其常数项为－2×C5＋2C5＝40.故选
?x??x?
D.]
6．(导学号14577927)(2018·延边州仿真)若(1－2x)＝a0＋a1x＋a2x＋a3x＋a4x＋a5x，则＝ ________ . 解析：通项公式Tr＋1＝C5(－2x)＝(－2)C5x，令r＝3，则a3＝(－2)C5＝－80；令r＝2，则a2＝(－2)C5＝40，
rrrrr33
22
5
2
3
4
5
a3a2
a3－80∴＝＝－2. a240
答案：－2
9?1?n7．(导学号14577928)(2018·渭南市一模)已知f(x)＝x＋在区间[1,4]上的最小值为n，则二项式?x－?展
x?x?
开式中x的系数为 ________ .
9x＋
解析：f′(x)＝1－2＝2
x－x2
x，x∈[1,4]．令f′(x)＝0，解得x＝3.∴x∈[1,3]时，函数f(x)
?1?6r6
单调递减；x∈(3,4]时，函数f(x)单调递增．∴x＝3时，函数f(x)取得最小值6.∴?x－?的通项公式Tr＋1＝C6x?
x?
－r?－1?r＝(－1)rCrx6－2r，令6－2r＝2，解得r＝2， ?x?6??
?1?n22
∴二项式?x－?展开式中x的系数为C6＝15.
?
x?
答案：15
?31?
n8．(导学号14577929)若?2＋?的展开式的第7项与倒数第7项的比是1∶6，则n＝ ________ .
?3?
3??
答案：9
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2?n?*
9．(导学号14577930)已知?x－2?(n∈N)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.
?x?
(1)求展开式中各项系数的和；
解：由题意知，第五项系数为Cn·(－2)， Cn第三项的系数为Cn·(－2)，则有2
Cn2
2
844
4
42
－－102
＝，化简得n－5n－24＝0，解得n＝8或n＝－3(舍去)． 1
(1)令x＝1得各项系数的和为(1－2)＝1. (2)通项公式Tr＋1＝C8(x)
r8－r?－22?r ?x???
10．(导学号14577931)已知fn(x)＝(1＋x). (1)若f2011(x)＝a0＋a1x＋…＋a2011x2011
n，求a1＋a3＋…＋a2009＋a2011的值；
6
(2)若g(x)＝f6(x)＋2f7(x)＋3f8(x)，求g(x)中含x项的系数． 解：(1)因为fn(x)＝(1＋x)， 所以f2011(x)＝(1＋x)
2011
n，
2011
又f2011(x)＝a0＋a1x＋…＋a2011x，
2011
所以f2011(1)＝a0＋a1＋…＋a2011＝2，①
f2011(－1)＝a0－a1＋…＋a2010－a2011＝0，②
①－②得2(a1＋a3＋…＋a2009＋a2011)＝2所以a1＋a3＋…＋a2009＋a2011＝2
2010
2011
，
.
6
7
8
6
6
(2)因为g(x)＝f6(x)＋2f7(x)＋3f8(x)，所以g(x)＝(1＋x)＋2(1＋x)＋3(1＋x).g(x)中含x项的系数为C6＋2C7＋3C8＝99.
[能力提升组]
11．(导学号14577932)已知(x＋1)＝a1＋a2x＋a3x＋…＋a11x.若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈N)是一个单调递增数列，则k的最大值是( )
A．5 C．7
n－1
10
2
10
*
6
6
B．6 D．8
10
解析：B [由二项式定理知an＝C10(n＝1,2,3，…，n)．又(x＋1)展开式中二项式系数最大项是第6项．∴
a6＝C510，则k的最大值为6.]
12．(导学号14577933)(2018·龙岩市一模)(x－1)(x＋2)的展开式中x的系数为( ) A．100 C．－35
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6
4
B．15 D．－220