第51讲 空间中的垂直关系

1．了解空间直线与平面垂直、平面与平面垂直的定义．

2．掌握判断空间直线与平面垂直、平面与平面垂直的方法，能正确判断空间直线与平面垂直、平面与平面垂直．

3．掌握直线与平面、平面与平面垂直的性质．

知识梳理

1．直线与平面垂直的判定

(1)利用定义：如果一条直线和一个平面内的 任意一条直线 都垂直，则此直线与这个平面垂直．

(2)判定定理：一条直线与一平面内的 两条相交直线 都垂直，那么这条直线就垂直于这个平面．

用符号语言可表示为：m?α，n?α， m∩n＝A ，l⊥m，l⊥n?l⊥α. 2．直线与平面垂直的性质

(1)由直线和平面垂直的定义知：若一条直线垂直于平面α，则这条直线垂直于平面α内的 任意一条 直线．

(2)性质定理：垂直于同一平面的两条直线 平行 . 用符号语言表示为：a⊥α，b⊥α?a∥b . 3．两平面垂直的判定

(1)利用定义：两个平面相交，若所成的二面角为 90° ，则称这两个平面互相垂直． (2)判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条 垂线 ，那么这两个平面互相垂直． 用符号语言表示为：a⊥β，a?α?α⊥β . 4．两平面垂直的性质

性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面 垂直 . 用符号语言表示为：α⊥β，α∩β＝l，b⊥l，b?α，则 b⊥β .

1．若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．

2．若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)．

3．垂直于同一条直线的两个平面平行．

4．一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则这一条直线也与另一个平面也垂直．

热身练习

1．下列命题正确的是(D)

①如果一条直线和一个平面内的两条直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面； ②如果一条直线和一个平面内的无数条直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面； ③如果一条直线和平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面； ④如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面． A．①② B．①③ C．②④ D．③④

①中两条直线一定要是两相交直线，如果是两平行直线，结论不成立；②中的无数条直线如果是平行直线，结论也不成立；只有③与④才成立．

2．下列四个命题：

①平行于同一直线的两条直线平行； ②垂直于同一直线的两条直线平行；

③若直线垂直于平面，则它垂直于平面内的所有直线； ④垂直于同一个平面的两条直线平行． 其中正确的命题是(A) A．①③④ B．①④ C．① D．①②③④ 由三线平行公理知①正确；由直线与平面垂直的定义知③正确；由直线与平面垂直的性质定理知④正确．

3．下面命题中：

①两平面相交，如果所成的二面角是直角，则这两个平面垂直； ②一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面一定垂直； ③一直线与两平面中的一个平行与另一个垂直，则这两个平面垂直． 其中正确命题的个数有(D) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ①正确，是两个平面垂直的定义；②正确，是两平面垂直的判定定理；③正确，即若a∥α，a⊥β，则α⊥β.证明如下：

过a作平面γ使α∩γ＝a′，因为a∥α，所以a∥a′，又a⊥β，所以a′⊥β，又a′?α，所以α⊥β，故选D.

4．下列两个命题中：

①两平面垂直，经过第一个平面上一点垂直于它们的交线的直线必垂直第二个平面； ②一平面与两平行平面中的一个垂直，则与另一个平面也垂直． 对上述两命题的判断中，正确判断的是(C) A．①、②都正确 B．①正确，②不正确 C．①不正确，②正确 D．①、②都不正确 ①不正确，当点在交线上时，满足条件，但该直线不一定垂直第二个平面． ②正确，即若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ. 证明如下：

设α∩γ＝a，在γ内作直线l⊥a，则l⊥α.

?因为α∥β?l⊥β?

? ?β⊥γ.

又l?γ??

由以上分析可知，选C. 5．(2016·浙江卷)已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则(C) A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n 因为α∩β＝l，所以l?β.因为n⊥β，所以n⊥l，故选C.

线面垂直的判定 (2018·北京卷·理节选)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F，G分

别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，AB＝BC＝5，AC＝AA1＝2.求证：AC⊥平面BEF.

在高考中，立体几何解答题常常设置两问，第(1)问常证明线面的位置关系，第(2)常考查

与体积、距离等有关的计算．两问的条件常常是一同叙述，图形也由同一图形给出，因此，在证明第(1)问时，要根据证明的要求，对条件要进行适当的筛选．在处理后面所选的例题及变式时，也要注意这一点．

在三棱柱ABC－A1B1C1中， 因为CC1⊥平面ABC，

所以四边形A1ACC1为矩形．

又E，F分别为AC，A1C1的中点， 所以AC⊥EF.

因为AB＝BC，所以AC⊥BE， EF∩BE＝E，所以AC⊥平面BEF.

(1)证线面垂直的基本方法是利用判定定理，即证明一条直线与平面内的两条相交直线垂

直．

(2)证明线线垂直时，要注意如下几个方面： ①要注意充分利用平面几何的知识，挖掘题中隐含的垂直关系，如正方形、菱形的对角线垂直；等腰三角形底边上的高、中线和顶角平分线垂直于底边；直径所对的圆周角为90°等．

②利用计算的方法证明垂直，如给出线段长度，计算满足勾股定理、证明角等于90°等． ③利用已知垂直关系证明线线垂直，其中要特别重视直线与平面垂直的性质和两平面垂直的性质定理．

1．四面体ABCD中，AC＝BD，E，F分别是AD，BC的中点，且EF＝

2

AC，∠BDC＝90°，2

求证：BD⊥平面ACD. 取CD的中点G，连接EG，FG，

因为E，F分别是AD，BC的中点，