由于x(n)是奇函数，上式中x(n)coswn是奇函数，那么
n?????x(n)coswn?0
?因此X(e)?jjwjwn????x(n)sinwn
这说明X(e)是纯虚数，且是w的奇函数。
jw10. 若序列h(n)是实因果序列，其傅里叶变换的实部如下式: HR(e)?1?cosw
求序列h(n)及其傅里叶变换H(e)。 解：
?1jw1?jwHR(e)?1?cosw?1?e?e?FT[he(n)]??he(n)e?jwn22n???jwjw?1?2,n??1?he(n)??1,n?0?1?,n?1?2?0,n?0??1,n?0???h(n)??he(n),n?0???1,n?1?2h(n),n?0??0,其它n?e??H(e)?jwn???n
??h(n)e?jwn?1?e?jw?2e?jw/2cosw212. 设系统的单位取样响应h(n)?au(n),0?a?1，输入序列为x(n)??(n)?2?(n?2)，完成下面各题：
（1）求出系统输出序列y(n)；
（2）分别求出x(n)、h(n)和y(n)的傅里叶变换。 解： （1）
y(n)?h(n)*x(n)?anu(n)*[?(n)?2?(n?2)] ?au(n)?2a（2）
nn?2u(n?2)
X(e)?H(e)?jwjwjwn????[?(n)?2?(n?2)]e????jwn?1?2e?j2w1 ?jw1?aeau(n)ejwn?jwnn???jw??ane?jwn?n?0?1?2e?j2wY(e)?H(e)gX(e)?1?ae?jw13. 已知xa(t)?2cos(2?f0t)，式中f0?100Hz，以采样频率fs?400Hz对xa(t)进行采
%样，得到采样信号xa(t)和时域离散信号x(n)，试完成下面各题：
（1）写出xa(t)的傅里叶变换表示式Xa(j?)；
%（2）写出xa(t)和x(n)的表达式；
%（3）分别求出xa(t)的傅里叶变换和x(n)序列的傅里叶变换。
解： （1）
Xa(j?)??xa(t)e???????j?tdt??2cos(?0t)e?j?tdt???
??(ej?0t?e?j?0t)e?j?tdt上式中指数函数的傅里叶变换不存在，引入奇异函数?函数，它的傅里叶变换可以 表示成：
Xa(j?)?2?[?(???0)??(???0)])
?a(t)?（2） xn????x(t)?(t?nT)??2cos(?nT)?(t?nT)
a0n?????x(n)?2cos(?0nT), ???n??
?0?2?f0?200?rad,T?（3）
1?2.5ms fs1??Xa(j?)??Xa(j??jk?s)Tk??? ?2?Tk????[?(????
0?k?s)??(???0?k?s)]式中?s?2?fs?800?rad/s
X(e)? ?jwn?????x(n)e?[ejw0n??jwn?n????2cos(?nT)e0?k?????jwn?n????2cos(wn)e00??jwn
?e?jw0n]e?jwn?2?n????[?(w?w?2k?)??(w?w0?2k?)]式中w0??0T?0.5?rad
上式推导过程中，指数序列的傅里叶变换仍然不存在，只有引入奇异函数函数，才能写出它的傅里叶变换表达式。
14. 求以下序列的Z变换及收敛域： （2）?2u(?n?1)； （3）2u(?n)；
（6）2[u(n)?u(n?10)] 解：
（2） ZT[2u(n)]?（3）
?n?n?n?nn?????2u(n)z?n?n??2?nz?n?n?0?11,z?
1?2?1z?12ZT[?2u(?n?1)]? ?（6）
?nn?????2??nu(?n?1)z?n?n??1??2??nz?n???2nznn?1??2z11?,z?1?2z1?2?1z?129
ZT[2u(n)?u(n?10)]??2?nz?n?nn?0 ?16. 已知:
1?2z,0?z???1?11?2z?10?10
X(z)?32 ?1?11?2z?11?z2求出对应X(z)的各种可能的序列的表达式。
解：
有两个极点，因为收敛域总是以极点为界，因此收敛域有以下三种情况： 三种收敛域对应三种不同的原序列。 （1）当收敛域z?0.5时，
x(n)?12?jn?1X(Z)zdz ??c令F(z)?X(z)zn?15?7z?15z?7n?1n?z?z ?1?1(1?0.5z)(1?2z)(z?0.5)(z?2)n?0，因为c内无极点，x(n)=0；
n??1，C内有极点0，但z=0是一个n阶极点，改为求圆外极点留数，圆外极点有
z1?0.5,z2?2，那么
x(n)??Res[F(z),0.5]?Res[F(z),2](5z?7)zn(5z?7)zn ?(z?0.5)z?0.5?(z?2)(z?0.5)(z?2)(z?0.5)(z?2)1 ??[3g()n?2g2n]u(?n?1)2（2）当收敛域0.5?z?2时，
z?2
(5z?7)zn F(z)?(z?0.5)(z?2)n?0，C内有极点0.5；
1x(n)?Res[F(z),0.5]?3g()n
2n?0，C内有极点0.5，0，但0是一个n阶极点，改成求c外极点留数，c外极点只有一
个，即2，
x(n)??Res[F(z),2]??2g2nu(?n?1)
最后得到x(n)?3g()u(n)?2g2u(?n?1) （3）当收敛域2?z时，
12nn(5z?7)zn F(z)?(z?0.5)(z?2)n?0，C内有极点0.5，2；
1x(n)?Res[F(z),0.5]?Res[F(z),2]?3g()n?2g2n
2n<0，由收敛域判断，这是一个因果序列，因此x(n)=0。
或者这样分析，C内有极点0.5，2，0，但0是一个n阶极点，改成求c外极点留数，c外无极点，所以x(n)=0。 最后得到
1x(n)?[3g()n?2g2n]u(n)
217. 已知x(n)?au(n),0?a?1，分别求： （1）x(n)的Z变换； （2）nx(n)的Z变换； （3）au(?n)的z变换。 解：
（1）X(z)?ZT[au(n)]?n?nnn?????anu(n)z?n?1,z?a ?11?azdaz?1X(z)?,z?a （2）ZT[nx(n)]??zdz(1?az?1)2（3）ZT[au(?n)]??n?azn?0???n?n??anzn?n?0?1,z?a?1 1?az?3z?118. 已知X(z)?，分别求： ?1?22?5z?2z（1）收敛域0.5?z?2对应的原序列x(n)； （2）收敛域z?2对应的原序列x(n)。 解：
x(n)?12?jn?1X(z)zdz ??cF(z)?X(z)zn?1?3z?1?3?znn?1?z? ?1?22?5z?2z2(z?0.5)(z?2)（1）当收敛域0.5?z?2时，n?0，c内有极点0.5，
x(n)?Res[F(z),0.5]?0.5n?2?n,n?0,
c内有极点0.5,0,但0是一个n阶极点,改求c外极点留数,c外极点只有2,
x(n)??Res[F(z),2]?2n,
最后得到
x(n)?2?nu(n)?2nu(?n?1)?2（2（当收敛域z?2时，
?n