向量法求空间角、距离和二面角

1.1. 向量的数量积和坐标运算

??a,b是两个非零向量，它们的夹角为?，则数|a|?|b|?cos?叫做a与b的数量积（或内积），记作a?b，即a?b?|a|?|b|?cos?. 其几何意义是a的长度与b在a的方向上的投影的乘积. 其坐标运算是：

若a?(x1,y1,z1),b?(x2,y2,z2)，则

??①a?b?x1x2?y1y2?z1z2；

②|a|?x1?y1?z1,|b|?x2?y2?z2；

222222??③a?b?x1x2?y1y2?z1z2 ④cos?a,b??x1x2?y1y2?z1z2x1?y1?z1?x2?y2?z2222222

1.2. 异面直线m,n所成的角

??分别在直线m,n上取定向量a,b,则异面直线m,n所??成的角?等于向量a,b所成的角或其补角（如图1所示），??|a?b|则cos???（例如2004年高考数学广东卷第18?.

|a|?|b|题第（2）问）

n的距离 1.3. 异面直线m、CanAnmbBD图1

????n上取定向量a,b,求与向量a、b都垂直的 分别在直线m、n上各取一个定点A、B，n的距离d等于AB在向量n，分别在m、则异面直线m、n上的射影长，即d?|AB?n||n|. ??证明：设CD为公垂线段，取CA?a,DB?b（如图1所示），则

- 1 -

CD?CA?AB?BD?CD?n?(CA?AB?BD)?n ?|CD?n|?|AB?n|?d?|CD|?|AB?n||n| ??|a?b|设直线m,n所成的角为?，显然cos????.

|a|?|b|1.4. 直线L与平面?所成的角

在L上取定AB，求平面?的法向量n（如图2所示），再求cos??|AB?n||AB|?|n|BLA?n?图2

，则???2??为所求的角.

1.5． 二面角

?的法向方法一：构造二面角??l??的两个半平面?、量n1、，则 n2（都取向上的方向，如图3所示）①

若二面角??l??是“钝角型”的如图3甲所示，那

?ln1n2?图3甲

么其大小等于两法向量n1、n2的夹角的补角，即cos???如2004年高考数学广东卷第18题第（1）问）. ② 若二面角??l??是“锐角型”的如图3乙所示，那么其大小等于两法向量n1、n2的夹角，即

co?s?n1?n2|n1|?|n2|.（例如2004年高考数学广东卷第

n2n1?n2|n1|?|n2|.（例

n1?l 图3乙 ?18题第（1）问）.

?内方法二：在二面角的棱l上确定两个点A、B，过A、B分别在平面?、求出与l垂直的向量n1、，则二面角n2（如图4所示）

?n2BlAn1图4

??l??的大小等于向量n1、n2的夹角，即

? - 2 -

cos??n1?n2|n1|?|n2|.

1.6. 平面外一点p到平面?的距离

先求出平面?的法向量n，在平面内任取一定点A，则点

p到平面?的距离d等于AP在n上的射影长，即

pnA图5

d?|AP?n||n|（例如2004年广州一模第18题第.（Ⅱ）问）.

?1．7． 法向量

2.1. 基向量法

由于空间中任何向量均可由不共面的三个基向量来线性表示，因此在解题时往往根据问题条件首先选择适当的基向量，把有关线段根据向量的加法、数乘运算法则与基向量联系起来. 再通过向量的代数运算，达到计算或证明的目的. 一般情况下，选择共点且不共面的三个已知向量作为基向量.

[例 1] 如图6，已知正三棱柱ABC?A1B1C1的棱长为2，底面边长为1，

M是BC的中点.

A1B1C1

（1）在直线CC1上求一点N，使MN?AB1； （2）当MN?AB1时，求点A1到平面AMN的距离. （3）求出AB1与侧面ACC1A1所成的角.

分析1 （1）的 问题显然是求使异面直线MN与AB1NABM图6

C所成的角为直角的点N.依据向量数量积的概念，必须由条件求出CN的长度，而MN与AB1都不是已知向量，MN?AB1?MN?AB1?0，

且和CN没有直接联系，因此必须选择一组基向量来表示MN与AB1. （1）解法一：取共点于B的三个不共面的已知向量

BA、BC、BB1为基向量，

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