第七章空间解析几何与向量代数

内容概要

名称 向量及线性运算 向量的坐标 主要性质：（1）a单位化向量为向量与数的乘法 向量的加减法 三角形法则 平行四边形法则 主要内容（7-1，7-2，7-3） ?a：当??0时，?a表示和a同向，?a??a的向量； 当??0，?a表示和a反向，?a??a的向量； aa，（2）a//b?a??b M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2)的距离：(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2向量的代数运算 a?axi?ayj?azk b?bxi?byj?bzk ?a??axi??ayj??azk 向量a的模、方向余弦：222a?ax?ay?aza?b?(ax?bx)i?(ay?by)j?(az?bz)k ，cos??axba,cos??x,cos??zaaa 向量a在μ轴上的投影：Prjμa?acos(a,μ)???a?μ μ数量积向量积混合积 数量积 定义及运算：a?b?abcos(a,b)?axbx?ayby?azbz 主要性质：（1）a?a?a2；（2）a（3）cos(a,b)??b?a?b?0，?a?bab 向量积 定义 a?b的模为a?b?absin(a,b)，方向为a指向b大拇指方向 ?运算 ia?b?axbxjaybykazbz 性质：（1）a?b表示以a、b为邻边的平行四边形面积； （2）a?b?a , a?b?b 混合积 ax定义及运算：(a?b)?c?bxcx性质：（1）(a?b)?caybycyazbzcz ?(b?c)?a?(c?a)?b （2）a,b,c共面的充要条件：(a?b)?c?0 习题7-1

★★1．填空：

（1） 要使（2） 要使

★2．设ua?b?a?b成立，向量a , b应满足a?b

a?b?a?b成立，向量a , b应满足a//b ，且同向

?a?b?2c , v??a?3b?c，试用a , b , c表示向量2u?3v

知识点：向量的线性运算

解：2u?3v?2a?2b?4c?3a?9b?3c?5a?11b?7c

★3．设P , Q两点的向径分别为r1 , r2，点

R在线段PQ上，且

PRRQ?m，证明点R的向径为 nn r1?m r2r?m?n

知识点：向量的线性运算

证明：在?OPQ中，根据三角形法则OQ?OP?PQ，又PR?∴ORmm PQ?(r2?r1)，

m?nm?n?OP?PR?r1?nr?mr2m(r2?r1)?1m?nm?n

★★4．已知菱形

ABCD的对角线AC?a , BD?b，试用向量a , b表示AB , BC , CD , DA。

知识点：向量的线性运算

解：根据三角形法则， AB?BC?AC?a , AD?AB?BD?b，又ABCD为菱形，

∴

AD?BC（自由向量），

∴2AB∴

?AC?BD?a?b?AB?a?bb?a ?CD??DC??AB?22AD?BC?a?ba?b，DA?? 22★★5．把?ABC的BC边五等分，设分点依次为D1 , D2 , D3 , D4，再把各分点与点

A连接，试以

AB?c , BC?a表示向量D1A , D2A , D3A 和D4A。

知识点：向量的线性运算 解：见图7-1-5，

A c B D1 D2 图7-1-5 a C D4 D3

11BC?D1A??AD1??(c?a) 55234同理：D2A??((c?a), D3A??(c?a), D4A??(c?a)

555根据三角形法则，

AB?BD1?AD1, BD1?习题7-2

★1在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？

A(2 ,?2 , 3)； B(3 , 3 , ?5)； C(3 , ?2 , ?4)； D(?4 , ?3 , 2)

答：A(2 ,?2 , 3)在第四卦限，B(3 , 3 , ?5)在第五卦限，C(3 , ?2 , ?4)在第八卦限，

D(?4 , ?3 , 2)在第三卦限

★2．在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征？并指出下列各点的位置：

A(2,3,0); B(0,3,2); C(2,0,0); D(0,?2,0)

知识点：空间直角坐标

答：在各坐标面上点的坐标有一个分量为零，坐标轴上点的坐标有两个分量为零，

∴点

A在xoy坐标面上；B在yoz坐标面上；C在x轴上；D在y轴上。

★3．求点(a,b,c)关于（1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原点的对称点的坐标。

答：（1）(a,b,c)关于xoy面的对称点的坐标为(a,b,?c)；关于xoz面的对称点的坐标为(a,?b,c)；

关于yoz面的对称点的坐标为(?a,b,c)。