A

a ? O

b 图7-（1）

D B

a?b11解：OD?Prjba?, AD?b?a?b?AD?b22b∴S?ODAa?b，

a?ba?b1?ODAD?222b

★★★★2．已知向量

a?{2,?3,6},b?{?1,2,?2}，向量c在向量a与向量b的角平分线上，且

c?342，求c的坐标

思路：两个单位向量的和向量即是它们的角平分向量

解：a?{2,?3,6},b?{?1,2,?2}，所以单位化得到：a?011{2,?3,6},b0?{?1,2,?2}， 73a0?b0?∴c//(a∴c01{?1,5,4}，∵向量c在向量a与向量b的角平分线上 21?b0)?c??(a0?b0)??1{?1,5,4}，由c?342，可得：?1?3

?(?3,15,12)

?c?d, a?c?b?d，则向量a?d与b?c共线

★★★3．若a?b思路：要证向量a?d与b?c共线，只要证(a?d)?(b?c)?0

证明：∵(a?d)?(b?c)?a?b?a?c?d?b?d?c?c?d?b?d?d?b?d?c?0

∴向量a?d与b?c共线

★★★★4．试求平面2x?y?z?7?0和平面x?y?2z?11?0的夹角平分面方程

思路：受课外习题2的启发，容易得到角平分线的方向矢

解：联立两平面2x?y?z?7?0，x?y?2z?11?0可得它们的交线L，则根据平面束方程，

得到过L的平面方程为2x?平面2x?y?z?7??(x?y?2z?11)?0，

y?z?7?0和平面x?y?2z?11?0的法矢分别为s1?{2,?1,1},s2?{1,1,2}

0{2,?1,1},s2?则s10?16160{1,1,2}?s10?s2?16{3,0,3}?36{1,0,1}，

∴夹角平分面方程应满足：{2??,??1,2??1}//{1,0,1}???1

∴夹角平分面方程为3x?3z?8?0

★★★★5．求证：原点在平面

xyz???1上的投影是这这平面被三坐标面所截三角形的重心 abcxyz???1被三坐标面所截三角形的顶点分别为A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c)， abcxyz原点O在平面???1上的投影点为D，则根据向量的线性运算法则：

abc证：设平面

AD?OD?OA?AD?BC?OD?BC?OA?BC?0?AD?BC，

同理可得：BD?∴原点在平面

AC,CD?AB

xyz???1上的投影是这这平面被三坐标面所截三角形的重心 abc★★★★6．一平面通过(1,2,3)，它在正x轴、正y轴上的截距相等。问当平面的截距为何值时，它与三个

坐标面所围成的立体体积最小？并写出此平面方程

xyz???1，∵它在正x轴、正y轴上的截距相等，∴a?b,a?0,b?0， abc1233a∵平面又通过(1,2,3)，∴???1?c?，

aaca?3解：设平面方程为

1a3该平面与三个坐标面所围成的立体体积V?abc?62a?3得：aa2(3a?10)，由V????0， 22(a?3)1010或a?0（舍去），∵a?是所求范围内的唯一驻点 331010∴当平面在x、y、z轴上的截距分别为,,30时，平面与三个坐标面所围成的立体体积最小

33?此平面方程为9x?9y?z?30

★★★★7．求过原点且与直线

x?1y?2z?1x?2y?1z????都相交的直线方程 及211122方法一：由于所求直线与已知两直线相交，若设两交点为M1、M2，则所求直线为过O、M1、M2三

点的直线