∴c表示向量a与b夹角的平分角线向量的方向
★★10．设m?2a?b , n?ka?b，其中a?1 , b?2，且a?b。
知识点：向量的数量积、向量积及其性质
（1）k为何值时，m?n？
解：m?n?m?n?0，由m?n?0?(2a?b )?(ka?b)?2k?(2?k)a?b?4?0
∵a?b，∴a?b?0?k??2
（2）k为何值时，m与n为邻边的平行四边形面积为6。
解：m与n为邻边的平行四边形面积S?m?n?(2a?b )?(ka?b)?(2?k)a?b
∵a?b，∴a?b?ab?2?S?22?k?6?k??1或k?5
★★★11．设a,b,c均为非零向量，其中任意两个向量不共线，但a?b与c共线，c?b与a共线，试
证
a?b?c?0。
证明：∵a?b与c共线，c?b与a共线，∴可设?1(a?b)?c, c?b??2a ,(?1?0,?2?0)
代入可推得?(?2零向量，可得：
??1)a?(1??1)b，又∵其中任意两个向量不共线，则由a,b不共线且为非
?2??1?1??1?0??2??1??1?a?b?c?0
★★★12．试证向量a??i?3j?2k , b?2i?3j?4k , c??3i?12j?6k在同一平面上，并沿
a和b分解c。
知识点：向量的混合积及其几何意义
解：根据向量混合积的几何意义：a,b,c共面?(a?b)?c?0，
?1又(a?b)?c3262?2??1??3, 3(?1??2)?12, 2?1?4?2?6
?2?3?4??30?3?0?2?15?0，∴a,b,c共面
?312设c=?1a??2b，将a,b,c代入???1?5, ?2?1? c?5a?b
★★★13．设点
A,B,C的向径分别为r1?2i?4j?k , r2?3i?7j?5k , r3?4i?10j?9k，
试证：
A,B,C三点在一直线上。
思路：只要证：向量AB和AC平行
证明：AB?OB?OA?{3,7,5}?{2,4,1}?{1,3,4}；
AC?OC?OA?{4,10,9}?{2,4,1}?{2,6,8}
∵
AC?2AB?AB//AC
?{a1,a2,a3} , b?{b1,b2,b3} , c?{c1,c2,c3}，试利用行列式的性质证明：
★★★14．已知a(a?b)?c?(b?c)?a?(c?a)?b
a1证明：(a?b)?c?b1a2b2c2a3b3c3a1a2b2c2a3b3c3b1c1， (b?c)?ab1?c1a1b2c2a2b3c3a3，
c1b1而行列式
b2c2a2b3c3a3是行列式
c1a1交换两次两行得到，
∴(a?b)?c∴(a?b)?c?(b?c)?a。同理可证：(b?c)?a?(c?a)?b， ?(b?c)?a?(c?a)?b
★★★15．试用向量证明不等式：
222a1?a2?a3?b1?b2?b3?a1b1?a2b2?a3b3222222。
思路：a1?a2?a3可看作向量a?{a1,a2,a3}的模；
b1?b2?b3222是向量b?{b1,b2,b3}的模，而a1b1?a2b2?a3b3是a?b的值。
证明：设a?{a1,a2,a3}，b?{b1,b2,b3}，则a?∵a?b即：
a1?a2?a3,b?b1?b2?b3222222
?abcos(a?b)?ab?a?b222222?
a1?a2?a3?b1?b2?b3?a1b1?a2b2?a3b3内容概要
主要内容（7-4，7-5，7-8） yoz面上曲线旋转曲面 xoy面上曲线f(x,y)?0绕x轴旋转的旋转曲面方程：f(x,?y2?z2?0 f(y,z)?0绕z轴旋转的旋转曲面方程：f(?x2?y2,z)?0 曲面及其方程 柱面 （2） 常见旋转曲面 xoz面上曲线f(x,z)?0绕z轴旋转的旋转曲面方程：f(?x2?y2,z)?0 2（1） 圆锥面：z?a2(x2?y2)（yoz面上曲线z?y绕z轴旋转而成） x2?y2z2?2?1（zox旋转单叶双曲面：a2c轴旋转而成） x2z2面上的曲线2?2?1绕acz?f(x,y)?0母线平行于z轴的柱面 f(x,y)?0表示准线为：?z?0??f(y,z)?0母线平行于x轴的柱面 f(y,z)?0表示准线为：?x?0??f(x,z)?0母线平行于y轴的柱面 f(x,z)?0表示准线为：??y?0柱面方程特点：缺少某个变量 常见柱面 （1）抛物柱面：y2?ax?b表示母线平行于z轴的抛物柱面 x2z2（2）椭圆柱面：2?2?1表示母线平行于y轴的椭圆柱面 aby2z2（3）双曲柱面：2?2?1表示母线平行于x轴的双曲柱面 ab 二次曲面 空间曲线及其方程 椭球面、抛物面、双曲面 L的一般方程 ?F(x,y,z)?0 ??G(x,y,z)?0 L的参数方程 x??(t) , y??(t) , z??(t) L在坐标面上的投影 消去L方程中的变量z得到的H(x,y)?0即为L在xoy面上的投影柱面， ?H(x,y)?0就是L在xoy面上的投影曲线（以此类推） ??z?0习题7-4
★1．求以点O(1,?2, 2)为球心，且通过坐标原点的球面方程。
知识点：空间两点的距离
解：设球面上点的坐标为(x,y,z)，则根据两点距离公式：(x?1)?(y?2)?(z?2)?R，
∵原点在球面上，∴R ?12?(?2)2?22?3,∴球面方程：(x?1)2?(y?2)2?(z?2)2?9。
2222★2．一动点与两定点（2，3，1）和（4，5，6）等距离，求该动点的轨迹方程。
解：设动点的坐标为（x,y,z），则根据等距离的条件：
(x?2)2?(y?3)2?(z?1)2?(x?4)2?(y?5)2?(z?6)2
∴动点的轨迹方程为：4x?4y?10z?63?0
★3．方程
x2?y2?z2?2x?4y?4z?7?0表示什么曲面？
222解：方程可化为：(x?1)?(y?2)?(z?2)?16∴该方程表达的是以(1,?2, 2)为球心、半径
为4的球面。
★★4．将xoz坐标面上的抛物线
z2?5x绕x轴旋转一周，求所生成的旋转曲面方程。
知识点：旋转曲面
解：∵xoz坐标面上的抛物线z?5x是绕x轴旋转
∴旋转曲面方程为(?2y2?z2)2?5x?y2?z2?5x
x2?z2?9绕z轴旋转一周，求所生成的旋转曲面方程。
2★★5．将xoz坐标面上的抛物线
2解：∵xoz坐标面上的抛物线x?z?9是绕z轴旋转
∴旋转曲面方程为(?x2?y2)2?z2?9?x2?y2?z2?9。
★★6．指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？
（1）x?0； （2）y?x?1； （3）x2?y2?4； （4）x2?y2?1
答：（1）x?0在平面解析几何中表示y轴，在空间解析几何中表示yoz坐标面
（2）y影为
?x?1在平面解析几何中表示一条直线，在空间解析几何中表示平行于z轴，在xoy坐标面上投
y?x?1的一个平面。
2（3）x?y2?4在平面解析几何中表示xoy面上，原点为心、半径为2的圆线，在空间解析几何中表
2示准线为xoy面上的圆线x（4）x2?y2?4，母线平行于z轴的圆柱面。
?y2?1在平面解析几何中表示xoy面上的双曲线，在空间解析几何中表示准线为xoy面上的