双曲线x2?y2?1，母线平行于z轴的双曲柱面。

★★7．说明下列旋转曲面是怎样形成的：

x2y2z2y22???1； （2）x??z2?1； （3）x2?y2?z2?1。 （1）4994知识点：旋转曲面

222x2y2z2x2(?y?z)???1可变化为解：方程??1，∴方程表达的是：xoy坐标面上的49949x2y2??1绕x轴旋转一周所得的旋转曲面 曲线49x2y2z2x2z2???1也可看作是：xoz坐标面上的曲线??1绕x轴旋转一周所得的旋注：方程49949转曲面

★★8．指出下列各方程表示哪种曲面：

（1）x2?y2?2z?0； （2）x2?y2?0； （3）x2?y2?0

2x2y2??1 （4）y?3z?0； （5）y?4y?3?0； （6）

916y2?1； （8）x2?4y； （9）z2?x2?y2?0 （7）x?92答：（1）方程表达开口向着z轴正向的圆抛物面（或旋转抛物面）

（2）x（3）x2?y2?0?x?y或x??y，∴表达两个垂直于xoy面的平面：x?y；x??y ?y2?0?x?0,y?0∴表示z轴

y?3z?0的平面

2（4）平行于x轴且经过yoz面上的直线（5）

y?3和y?1这两个平行于xoz坐标面的平面

x2y2??1，母线平行于z轴的椭圆柱面 （6）准线为xoy坐标面上的椭圆

916y2?1，母线平行于z轴的双曲柱面 （7）准线为xoy坐标面上的双曲线x?92（8）准线为xoy坐标面上的抛物线x2?4y，母线平行于z轴的抛物柱面

（9）yoz坐标面上的直线

y?z绕z轴旋转一周所得的圆锥面

习题7-5

★★★1．画出下列曲线在第一象限内的图形：

??x?2?z?9?x2?y2（1）? ； （2）?y?4?x?y?0??解（1）

?x2?y2?a2； （3）?222?x?z?a

z42xy7-5-1-（1）

（2） （3）

zz?9?x2?y2y0x?yx7-5-1-（2） z 0 x y x 7-5-1-（3）

★★2．方程组??y?5x?2在平面几何与空间解析几何中各表示什么？

y?2x?5?xoy坐标面

答：方程组??y?5x?2在平面几何中表示两条直线的交点，在空间解析几何中表示垂直于

?y?2x?5的两平面的交线。

?x2y2???1在平面几何与空间解析几何中各表示什么？

★★3．方程组?49??x?2?x2y2???1在平面几何中表示一个点（2，0），在空间解析几何中表示椭圆柱面

答：方程组?49??x?2?x?2x2y2??1和平面x?2的交线：?。 49y?0?★★4．求曲面

x2?9y2?10z与yoz平面的交线。

?x2?9y2?10z?9y2?10z??解：yoz平面方程为x?0，∴交线为?

x?0??x?0?2x2?y2?z2?16★★5．分别求母线平行于x轴及y轴而且通过曲线?的柱面方程。

222?x?z?y?0知识点：曲线在坐标面上的投影柱面及投影曲线

?2x2?y2?z2?16解：要求过曲线?2且母线平行于x轴的柱面方程，只要方程组消去变量x

22?x?z?y?0∴所求柱面方程为3y2?z2?16

?2x2?y2?z2?16要求过曲线?且母线平行于y轴的柱面方程，只要方程组消去变量y

222x?z?y?0?∴所求柱面方程为3x2?2z2?16

在xoy面上的投影方程。

★★6．求曲线??x?z?1222x?y?z?9?知识点：曲线在坐标面上的投影柱面及投影曲线

解：要求曲线??2x?z?122?x?y?z?92 在xoy面上的投影方程，只需方程组消去变量z

∴所求柱面方程为：x?y2?(1?x)2?9?2x2?y2?2x?8

★★7．求曲线??22y?z?1?0?x?z?3yz?2x?3z?3?0?22 在xoz面上的投影方程。

解：要求曲线?y?z?1?0?x?z?3yz?2x?3z?3?0 在xoz面上的投影方程，只需方程组消去变量y

?x2?4z2?2x?3?0∴所求投影方程为：?

y?0??x2?y2?z2?9★★★8．将曲线? 化为参数方程。

y?x?22思路：若将y?x代入x?y?z?9，可得2x?z?9，因此可通过椭圆方程的参数式求出曲

222线的参数式。

22解：将y?x代入x?y?z?9，可得2x?z?9，该方程可用参数式表达为：

222?32x?cos??2??22232?x?cos?，∴曲线?x?y?z?9的参数式为?y?32cos????22y?x????z?3sin??z?3sin???