★★4．平面过原点
O，且垂直于平面?1:x?2y?3z?2?0，?2: 6x?y?5z?2?0求此
平面方程。
思路：根据条件，已知平面过原点，若能求出平面的法矢就可得平面方程。 解：设所求平面?和已知平面?1、?2的法矢分别为n、n1、n2，
i∵?jk??1，???2，∴n?n1，n?n2?n?n1?n2?123?13i?13j?13k
6?15可选择?的法矢n?{1,1,?1}，∴?：x?y?z?0
★★5．指出下列各平面的特殊位置：
（1）x（5）
?1； （2）3y?2?0； （3）2x?3y?6?0； （4）x?3y?0；
； （7） EMBED Equation.3
。
y?z?2； （6）
答：（1）该平面平行于yoz面；（2）该平面平行于xoz面；（3）该平面平行于z轴；
（4）该平面平行于z轴且过原点，即过z轴；（5）该平面平行于x轴；（6）该平面平行于y轴且过原点，即过y轴（7）该平面过原点 ★★6．求平面 EMBED Equation.3 知识点：平面及向量的方向余弦 解：∵平面 EMBED Equation.3 别为：
EMBED Equation.3
和 EMBED Equation.3
，求平行于 EMBED Equation.3 的平面的法矢，也是所求平面的法矢。
， EMBED Equation.3
，有条件 EMBED Equation.3
★★★7．已知 EMBED Equation.3
的法矢 EMBED Equation.3
，∴和x、y、z轴的夹角余弦分
和各坐标轴的夹角余弦
所在的平面且与它的距离等于2的平面方程。
思路：可先借鉴本单元的习题3，求出过 EMBED Equation.3 解：设所求平面 EMBED Equation.3 ∴设 EMBED Equation.3 ∴点 EMBED Equation.3
的法矢为 EMBED Equation.3
的距离等于2
或 EMBED Equation.3
的平面一般方程为： EMBED Equation.3 到平面的距离 EMBED Equation.3
所在的平面与 EMBED Equation.3
∴?? EMBED Equation.3 ??????的方程为： EMBED Equation.3 ★★8．确定 EMBED Equation.3 平行；
（4）与 EMBED Equation.3 解：（1）平面 EMBED Equation.3
Equation.3 Equation.3
（2）平面 EMBED Equation.3
垂直，
∴ EMBED Equation.3 （3）平面 EMBED Equation.3
成 EMBED Equation.3
。
的值，使平面 EMBED Equation.3
角； （5）与原点的距离等于3； （6）
，∴点代入平面方程可得： EMBED 垂直，∴两平面的法矢 EMBED
在y轴上的截距为 EMBED Equation.3
经过点 EMBED Equation.3 与平面 EMBED Equation.3
与平面 EMBED Equation.3 平行，两平面的法矢 EMBED
Equation.3 平行
与平面 EMBED Equation.3
成 EMBED Equation.3
角，
∴?? EMBED Equation.3 ?????? （4）平面 EMBED Equation.3 ∴?? EMBED Equation.3 ?????? （5）平面 EMBED Equation.3 （6）平面x?ky?2z与原点的距离等于3，∴?? EMBED Equation.3
两平面的法矢 EMBED Equation.3
夹角为 EMBED Equation.3
xyz??1 ?9在y轴上的截距为?3，根据平面的截距式方程：?99/k9/(?2)?9/k??3?k??3
★9．求点(1,2,1)到平面
x?2y?2z?10?0的距离。
解：根据点到平面的距离公式：d?1?2?2?2?101?2?222?1
★★★10．求平行于平面
x?y?z?100且与球面x2?y2?z2?4相切的平面方程。
思路：所求平面?//平面x?y?z?100，所以可知?的法矢，由?与球面相切的条件又可知球心
到平面的距离。
解：∵所求平面?//平面x?y?z?100，∴?的法矢n?{1,1,1}，设?的方程为：
x?y?z?D?0，∵?与球面相切，∴球心到平面的距离为球半径10，
∴d?D3?2?D??23??：x?y?z?23?0
x?2y?2z?21?0与7x?24z?5?0的夹角的平分面的方程。
★★★11．求平面
知识点：平面与平面的夹角、点到平面的距离
思路：两平面的夹角平分面上的点应满足到两平面的距离相等
解：设所求平面?上的动点坐标(x,y,z)，∵?是平面x?2y?2z?21?0与平面
7x?24z?5?0的夹角的平分面，∴(x,y,z)到两平面的距离相等，于是：
x?2y?2z?213?7x?24z?525?25(x?2y?2z?21)??3(7x?24z?5)，
?2x?25y?11z?270?0, or 23x-25y?61z?255?0
习题7-7
★1．求过点(3,?1 , 2)且平行于直线
x?3z?1的直线方程。 ?y?43知识点：直线的对称式方程
x?3z?1，∴L的方向矢s?{4,1,3}，又已知L过点(3,?1 , 2) ?y?43x?3y?1z?2∴L： ??413解：所求直线L//直线
, 5)和M2(?1 , 0,6)的直线方程。 ★2．求过两点M1(2,?1知识点：直线的对称式方程
解：∵所求直线L过两点M1(2,?1 , 5)和M2(?1 , 0,6)，L的方向矢s可取为
s?M1M2?{?3, 1, 1}，∴L：
x?2y?1z?5 ???311★★3．用对称式方程及参数方程表示直线??2x?y?3z?2?0。
?x?2y?z?6?0知识点：直线的各种表达式之间的转换 解：∵直线L表达为两平面交的一般方程形式：??2x?y?3z?2?0，则L的方向矢s和两平面的法
?x?2y?z?6?0?2x?y?2?0矢都垂直，∴s?2?1?3?7i?j?5k，取L上的一点：令z?0??
x?2y?6?0?12?1214x?2/5y?14/5z?( , , 0)，∴L的对称式方程：??，
557?15x?2/5y?14/5z214???t?x?7t?,y??t?,z?5t L的参数方程：
7?1555ijk?x?2y?z?7?3x?6y?3z?8★★4．证明两直线?与?平行。
?2x?y?z?72x?y?z?0??证明：根据上一题解答可知直线L1??x?2y?z?72?1?3i?j?5k 的方向矢s1?1??2x?y?z?7?211ijkijk3x?6y?3z?8?2?1??3i?j?5k ?s1??s2， 直线L2?的方向矢s2?1?2x?y?z?02?1?1∴L1//L2
★★★5．求过点(1,2 , 1)且与两直线??x?2y?z?1?0?2x?y?z?0和?都平行的平面方程。
?x?y?z?1?0?x?y?z?0思路：所求平面?和两直线平行，则说明?的法矢和两直线的方向矢都垂直。
?x?2y?z?1?0?2x?y?z?0解：设所求平面?的法矢为n；两直线L1：?和L2：?的方向矢
x?y?z?1?0x?y?z?0??分别为s1,s2。 ∵?//L1，?//L2?n?s1, n?s2?n?s1?s2，其中
is1?1j2k1ij1k1ijk?1?i?2j?3k , s2?2?11??j?k，
1?111?1∴n?s1?s2?1?2?3?i?j?k，
0∴?：(x?1)?(y?2)?(z?1)★★6．求过点(0, 2 , 4)且与两平面
?0?x?y?z?0
x?2z?1和y?3z?2平行的直线方程。
思路：所求直线L与两已知平面平行，所以L的方向矢和两平面的法矢都垂直。
解：设所求直线L的方向矢为s，两平面?1：x?2z?1和?2：y?3z?2的法矢分别为n1,n2
i∵L//?1 , L//?2jk2??2i?3j?k，
?s?n1,s?n2?s?n1?n2?1001?3∴L：
xy?2z?4 ???231x?4y?3z??的平面方程。 5211 , ?2)且通过直线★★★7．求过点(3, 思路：易知：已知点不在直线上，所以通过点和直线的平面方程和通过三点的平面方程的求法相似。 解：设所求的平面?的法矢为n，直线L：
∵L在?上，∴nx?4y?3z??的方向矢s，s?{5,2,1} 521?s；
取直线上的一点M(4,?3, 0)，和已知点M0(3, 1 , ?2)组成向量MM0?{?1, 4,?2}，