解：根据已知条件：x与a共线，可设x??a??{2,?1 ,2}，
由a?x??18?a??a??a??18????2?x?{?4, 2,?4}
?{?1 , 3,2}，b?{2, ?3 , ?4}，c?{?3, 12 , 6}，证明三向量a , b , c共面，并用a 2★★★6．设a和 b 表示 c
知识点：向量的混合积
解：根据向量混合积的性质：三个向量宫面的充要条件是它们的混合积为零
i∵a ? b ?j3k2??6i?3k?(a ? b)?c?6?3?3?6?0
?12?3?4∴a , b , c共面 若设c?x1a?x2b?{?3,12,6}?{?x1?2x2, 3x1?3x2, 2x1?4x2}，
??x1?2x2??3, 3x1?3x2?12, 2x1?4x2?6?x1?5,x2?1
∴c?5a?b
M0(x0,y0,z0)到一通过点
★★★7．证明点
A(a,b,c)、方向平行于向量s的直线的距离为
d?r?ss，其中r?AM0。
证明：该题类似于习题7-7的11题，把向量s的起点放在A(a,b,c)，设此时s的终点坐标为M1，d即为?M0AM1底边
AM1（即s）上的高，根据习题7-7的11题的结论：d?AM0?ss
★★★8．已知向量a , b 非零，且不共线，作c??a ? b，?是实数，证明：c最小的向量 c。
最小的向量 c垂直于a ，
并求当a?{1 , 2,?2}，b?{1, ?1 , 1}时，使c知识点：向量的数量积及其性质、一元函数的最值 解：c??a ? b?c?c?(?a ? b)?(?a ? b)?c设
2??2a?2?(a?b)?b222
f(?)??2a?2?(a?b)?b22，则由
f?(?)?2?a?2(a?b)?0
????a?ba2（唯一驻点），∴
c最小的向量 c??a?ba2a?b，
∵ c?a?(?a?ba2a?b)?a??a?b?b?a?0?c?a，
a?b411a?b?{ , ? , } 2333a当a?{1 , 2,?2}，b?{1, ?1 , 1}时，使c2最小的向量 c??★★9．将xoy坐标面上的双曲线4x?9y2?36分别绕x轴及y轴旋转一周，求所生成的旋转曲面方
程。
知识点：旋转曲面及其方程
解：当xoy坐标面上的双曲线4x?9y?36绕x轴旋转时旋转曲面方程为：
4x222?9(?y2?z2)2?36?4x2?9y2?9z2?36。
绕y轴旋转时旋转曲面方程为：4(?★★★10．求直线
x2?z2)2?9y2?36?4x2?4z2?9y2?36
L：
x?1yz?1绕z轴旋转所得旋转曲面方程。 ??121知识点：求旋转曲面方程的原理
解：设所求旋转曲面上的动点坐标为(x,y,z)，且它是由直线L：
x?1yz?1上的某一点??121(x0,y0,z0)绕z轴旋转得到，所以，(x,y,z)和 (x0,y0,z0)满足：
（1）z22?z0；（2）x0?y0?x2?y2，
将
x0?1y0z0?12222??代入（2）可得：x?y?z?4(z?1) 121?z?2?x2?y2★★11．求曲线L:?在三个坐标面上的投影曲线方程。
22?z?(x?1)?(y?1)?z?2?x2?y2解：（1）方程组?消去z，
22?z?(x?1)?(y?1)?x2?y2?x?y?0可得L在xoy面上的投影曲线方程?
z?0??z?2?x2?y2?z?2?x2?y2（2）方程组?消去x ??22z?(x?1)?(y?1)z?2?x?y???2y2?2yz?z2?4y?3z?2?0可得L在yoz面上的投影曲线方程?
x?0??z?2?x2?y2?z?2?x2?y2（3）方程组?消去y ??22?z?(x?1)?(y?1)?z?2?x?y?2x2?2xz?z2?4x?3z?2?0可得L在yoz面上的投影曲线方程?
y?0??6x?6y?z?16?0★★12．求曲线L:?在三个坐标面上的投影方程。
2x?5y?2z?3?0?解：（1）方程组??6x?6y?z?16?0消去z，
?2x?5y?2z?3?0?2x?y?5?0可得L在xoy面上的投影曲线方程?
z?0?（2）方程组??6x?6y?z?16?0消去x
?2x?5y?2z?3?0?3y?z?1?0可得L在yoz面上的投影曲线方程?
x?0?（3）方程组??6x?6y?z?16?0消去y
?2x?5y?2z?3?0?6x?z?14?0
y?0?可得L在yoz面上的投影曲线方程?★★★13．求螺旋线
x?acos? , y?asin? , z?b?在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程。
解：（1）螺旋线x?acos? , y?asin? , z?b?消去z，可得螺旋线在xoy面上的投影曲线方程：
?x2?y2?a2 ∵x,y总是满足：x?y?a∴投影方程为?z?0?222
（2）螺旋线x?acos? , y?asin? , z?b?消去x，可得螺旋线在yoz面上的投影曲线方程：
z?z?y?asin222 ∵x?acos ，代入x?y?a，∴投影方程为?b
b??x?0 （3）螺旋线x?acos? , y?asin? , z?b?消去y，可得螺旋线在xoz面上的投影曲线方程：
z?z?x?acos222 ∵y?asin ，代入x?y?a，∴投影方程为?b
b??y?0★★★14．求由上半球面
z?a2?x2?y2，柱面x2?y2?ax?0及平面z?0所围成的立体在
xoy面和xoz面上的投影。
解：（1）上半球面z?a2?x2?y2含在柱面x2?y2?ax?0内的立体在xoy面上的投影就是：
?x2?y2?ax?0 ?z?0?（2）当投影到xoz面上，该立体投影的边界为xoz面上的：x2?z2?a2,(x?0,z?0)，
?x2?z2?a2,(x?0,z?0) ∴立体在xoz面上的投影为：?
y?0?★★★15．求与已知平面2x?y?2z?5?0平行且与三坐标面构成的四面体体积为1的平面方程。
知识点：平面及其方程
解：所求平面?和2x?y?2z?5?0平行，所以设?的方程为2x?y?2z?D，化为截距式方
程：
xyz???1， D/2DD/2D1D??D??1?D??233 622 ∵?与三坐标面构成的四面体体积为1，∴
∴?：2x?y?2z?233?0
★★★16．求通过点(1, 2 , ?1)且与直线??2x?3y?z?5?0垂直的平面方程。
3x?y?2z?4?0?思路：所求平面和已知直线垂直，则直线的方向矢即为平面的法矢 解：设直线L??2x?3y?z?5?0的方向矢s，所求平面?的法矢n，
?3x?y?2z?4?0k1?5i?7j?11k，∵??L，∴取n?s?5i?7j?11k ?2?0?5x?7y?11z?8
i3j1s?2?3∴?：5(x?1)?7(y?2)?11(z?1)