3.2.2 函数模型的应用实例
一、A组
1.甲、乙两人在一次赛跑中,路程s与时间t的函数关系如图所示,则下列说法正确的是( ) A.甲比乙先出发 B.乙比甲跑的路程多 C.甲、乙两人的速度相同 D.甲先到达终点
解析:由题图知甲所用时间短,则甲先到达终点. 答案:D
2.用长度为24 m的材料围成一个矩形场地,并且中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为( )
A.3 m
2
B.4 m C.5 m D.6 m
2
解析:设隔墙长为x m,则矩形场地长为=(12-2x)m.所以矩形面积为S=x(12-2x)=-2x+12x=-2(x-3)+18,即当x=3 m时,矩形面积最大. 答案:A
3.已知镭经过100年剩留原来质量的95.76%,设质量为1的镭经过x年后的剩留量为y,则x,y之间的函数关系式为( ) A.y=0.957 C.y= 答案:A
4.某商品价格前两年每年递增20%,后两年每年递减20%,则四年后的价格与原来价格相比,变化情况是( ) A.升高7.84% C.降低9.5%
B.降低7.84% D.不增不减 B.y=0.957 6D.y=1-0.04
100x
解析:特殊值法,取x=100代入选项,只有A正确.
解析:设该商品原价为a,
四年后的价格为
a(1+0.2)2·(1-0.2)2=0.921 6a.
所以(1-0.921 6)a=0.078 4a=7.84%a, 即比原来降低7.84%. 答案:B
5.衣柜里的樟脑丸随着时间挥发而体积缩小,刚放进的新丸的体积为a,经过t天后体积V与天数t的关系式为V=a·e.已知新丸经过50天后,体积变为a.若一个新丸体积变为a,则需经过的天数为( ) A.125
B.100
-50k-ktC.75
-50kD.50
解析:由已知得a=a·e,即e=.
∴a=·a=(e-50k·a=e-75k·a, ∴t=75.
答案:C
6.“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度,假设函数t=-144lg中,t表示达到某一英文打字水平所需的学习时间,N表示每分钟打出的字数.若N=40,则t≈ .(已知lg 2≈0.301,lg 3≈0.477). 解析:当N=40时,
则t=-144lg=-144lg
=-144(lg 5-2lg 3)
=-144(1-lg 2-2lg 3)≈36.72.
答案:36.72
7.某汽车在同一时间内速度v(单位:km/h)与耗油量Q(单位:L)之间有近似的函数关系Q=0.002 5v-0.175v+4.27,则车速为 km/h时,汽车的耗油量最少. 解析:Q=0.002 5v-0.175v+4.27
2
2
=0.002 5(v2-70v)+4.27 =0.002 5[(v-35)2-352]+4.27 =0.002 5(v-35)2+1.207 5.
故v=35 km/h时,耗油量最少. 答案:35
8.导学号29900137一个水池有2个进水口,1个出水口.2个进水口的进水速度分别如图甲、乙所示,出水口的排水速度如图丙所示.某天0时到6时,该水池的蓄水量如图丁所示.
给出以下3个论断:①0时到3时只进水不出水;②3时到4时不进水只出水;③4时到6时不进水不出水.其中,一定正确的论断序号是 .
解析:从0时到3时,2个进水口的进水量为9,故①正确;由排水速度知②正确;4时到6时可以是不进水,不出水,也可以是开1个进水口(速度快的)、1个排水口,故③不正确. 答案:①②
9.如图所示,已知边长为8 m的正方形钢板有一个角被锈蚀,其中AE=4 m,CD=6 m.为了合理利用这块钢板,将在五边形ABCDE内截取一个矩形块BNPM,使点P在边DE上. (1)设MP=x m,PN=y m,将y表示成x的函数,求该函数的解析式及定义域; (2)求矩形BNPM面积的最大值. 解:(1)如图所示,延长NP交AF于点Q,
所以PQ=8-y,EQ=x-4. 在△EDF中,,所以.
所以y=-x+10,定义域为[4,8]. (2)设矩形BNPM的面积为S, 则S=xy=x=-(x-10)+50.
又x∈[4,8],所以当x=8时,S取最大值48.
所以当MP=8 m时,矩形BNPM的面积取得最大值,且为48 m.
10.导学号29900138(2016·河北正定中学高一月考)经市场调查,某门市部的一种小商品在过去的20天内的日销售量(单位:件)与价格(单位:元)均为时间t(单位:天)的函数,且日销售量近似满足函数g(t)=80-2t,而且销售价格近似满足于f(t)=
(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20)的函数表达式; (2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值. 解:(1)由已知得y=f(t)·g(t)
2
2
= =
(2)由(1)知,①当0≤t≤10时,
y=-t2+10t+1 200=-(t-5)2+1 225.
该函数在区间[0,5]上递增,在区间(5,10]上递减,
则ymax=1 225(当t=5时取得),ymin=1 200(当t=0或t=10时取得).
②当10 该函数在区间(10,20]上递减,则y<2 000-800=1 200,ymin=600(当t=20时取得). 由①②知,ymax=1 225(当t=5时取得),ymin=600(当t=20时取得). 二、B组 1.某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖,引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物,已知该动物的繁殖数量y(单位:只)与引入时间x(单位:年)的关系为y=alog2(x+1),若该动物在引入一年后的数量为100只,则第7年它们发展到( ) A.300只 B.400只 C.600只 D.700只 解析:将x=1,y=100代入y=alog2(x+1)得,100=alog2(1+1),解得a=100, 所以当x=7时,y=100log2(7+1)=300. 答案:A 2.某工厂生产某产品x吨所需费用为P元,而卖出x吨的价格为每吨Q元,已知P=1 000+5x+x,Q=a+,若生产出的产品能全部卖出,且当产量为150吨时利润最大,此时每吨的价格为40元,则有( ) A.a=45,b=-30 C.a=-30,b=45 B.a=30,b=-45 D.a=-45,b=-30 2 解析:设生产x吨产品全部卖出所获利润为y元,则 y=xQ-P=x =x2+(a-5)x-1 000, 其中x∈(0,+∞). 由题意知当x=150时,y取最大值,此时Q=40. ∴整理得 解得 答案:A 3.导学号29900139如图,点P在边长为1的正方形边上运动,设M是CD的中点,则当P沿A-B-C-M运动时,点P经过的路程x与△APM的面积y之间的函数y=f(x)的图象大致是( ) 解析:依题意,当0 当1 =×1-×1×(x-1)-×(2-x)=-x+;