概率论习题2答案

习题2

2.1 （2）抛掷一颗匀称质骰子两次， 以X表示前后两次出现点数之和，求X的概率分布，并验证其满足（2.2.2）式。

2.1解：样本空间为???(1,1),(1,2),...,(16),(2,1),....,(6,6)?，且每

1个样本点出现的概率均为36，X的所有可能的取

值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，且有

12,P(X?3)?P?(1,2),(2,1)??,36363P(X?4)?P?(1,3),(3,1),(2,2)??36P(X?2)?P?(1,1)??

4565类似地P(X?5)?36,P(X?6)?,P(X?7)?,P(X?8)?, 363636

P(X?9)?4321,P(X?10)?,P(X?11)?,P(X?12)?,36363636

X的概率分布为

Xpk21363118411251965367168536919101121111812136

：

满

?P(X?k)?k?212足

61?2?3?4?56?2?5?6/2?2??1363636

2.2设离散随机变量

P?X?k??ae?kX的概率分布为

，故

1?e?1a??1?e?1e， k=1，2,…，试确定常数a.

???kk?1k?12.2解：由于1??P(X?k)??aee?1?a1?e?1

2.3 甲、乙两人投篮，命中率分别为0.7,和0.4，今甲、乙两人各投篮两次，求下列事件的概率： （1）两人投中的次数相同 ； （2）甲比乙投中的次数多。

2.3解：设X,Y分别为甲、乙投中的次数，则有

X~B(2,0.7),Y~B(2,0.4)，因此有

kkP(X?k)?C2(0.7)k(0.3)2?k,P(Y?k)?C2(0.4)k(0.6)2?k,k?0,1,2（1） 两人投中次数相同的概率为

P(X?Y)??P(X?k)P(Y?k)?0.3142k?02

（2） 甲比乙投中次数多的概率为

P(X?Y)??P(X?k)P(Y?k)?P(X?1)P(Y?0)?P(X?2)[P(Y?0)?P(Y?1)]k?02?0.56282.4设离散随机变量X的概率分布为 k=1，2，….求

P?X?k??12k，

（1）P?X?2,4,6,...?； （2）P?X?2.5?； 2.4

解

：

（

1

）

P?1?X?3??P(X?1)?P(X?2)?P(X?3)?1?2?36??0.41515

?23 （2）P?0.5?X?2.5??P(X?1)?P(X?2)?115??0.2 152.5设离散随机变量X的概率分布为 k=1，2，3，4，5.求

P?X?k??k15，

（1）P?1?X?3?； （2）P?0.5?X?2.5?； 2.5解：（1）

?111/41P?X?2,4,6,...???P(X?2k)??2k??k??1?1/43k?1k?12k?14????

（2）P(X?3)??P(X?k)??21k?3k?3k?1/81??0.251?1/24

2.6 设事件A在每次试验中发生的概率为0.4，当A发生3次或3次以上时，指示灯发出信号，求下列事件的概率.

（1）进行4次独立试验，指示灯发出信号； （2）进行5次独立试验，指示灯发出信号；

2.6解：设X为4次独立试验时事件A发生的次数，设Y为5次独立试验时事件A发生的次数，则有X~B(4,0.4),Y~B(5,0.4) （1）所求概率为：

34P(X?3)?P(X?3)?P(X?4)?C40.43(1?0.4)4?3?C40.44(1?0.4)4?4?4?0.4?0.6?0.4?0.179234

（2）所求概率为：

3P(Y?3)?P(Y?3)?P(Y?4)?P(Y?5)?C50.43(1?0.4)5?3?C540.44(1?0.4)5?4?C0.4(1?0.4)5555?5?10?0.4?0.6?5?0.4?0.6?0.4?0.317443245

2.7 某城市在长度为t（单位：小时）的时间间隔内发生火灾的次数X服从参数为0.5t的泊松分布，且与时间间隔的2无关，求下列事件的概率. （1）某天中午12点到下午15点末发生火灾； （2）某天中午12点到下午16点至小发生两次火灾。

2.7解：（1）设X为中午12点到下午15点发生火灾的次数，根据题意可知，X服从参数为

??3?0.5?1.5的泊松分布，所求概率为

1.50?1.5P(X?0)?e?e?1.5?0.223130!

（2）设Y为中午12点到下午16点发生火灾的次数，根据题意可知，Y服从参数为??4?0.5?2的泊松分布，所求概率为

P(Y?2)?1?P(Y?1)?1?[P(Y?0)?P(Y?1)]20?221?2?1?e?e?1?3e?2?0.593990!1!

2.8 为保证设备正常运行，必须配备一定数量的设备维修人员，现有同类设备180台，且各设备工作相互独立，任一时间设备发生故障的概率都是0.01。假定一台设备由一人进行修理，问至小配备多小设备维修人员，才能保证设备发生故障后得到及时维修的概率不小于0.99？.