广东省广州市2019届高三普通高中毕业班综合测试(一模)理科数学试卷 下载本文

因为O,O1分别是AC,AC11的中点, 所以OAOC为平行四边形.且OC?OA1?1. 111因为平面ACO1平面BB1D1D?OO1,

过点C作CH?OO1于H,则CH?平面BB1D1D.

过点H作HK?OB1于K,连接CK,则CK?OB1.

所以?CKH是二面角B?OB1?C的平面角的补角.……………………………6分 在Rt?OCO1中,CH?O1C?OCOO1?1?32?32.………………………………7分

?A1B1,所以OB1?在?OCB1中,因为AO1OA12?A1B12?5.

因为A1B1?CD,A1B1//CD, 所以B1C?A1D?2AO?OD2?12.

因为B1C2?OC2?OB12,所以?OCB1为直角三角形.……………………………8分 所以CK?CB1?OCOB1?2?35325?65.…………………………………………9分

所以KH?CK2?CH2?.…………………………………………………10分

所以cos?CKH?KHCK?64.……………………………………………………11分

所以二面角B?OB1?C的余弦值为?

64.……………………………………12分

x2y2(20)(Ⅰ)解法一:设椭圆C的方程为2?2?1(a?b?0),

ab因为椭圆的左焦点为F,0?,所以a2?b2?4.……………………………1分 1??2设椭圆的右焦点为F2?2,0?,已知点B2,2在椭圆C上, 由椭圆的定义知BF1?BF2?2a,

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??所以2a?32?2?42.………………………………………………………2分 所以a?22,从而b?2.………………………………………………………3分

x2y2??1.………………………………………………4分 所以椭圆C的方程为84x2y2解法二:设椭圆C的方程为2?2?1(a?b?0),

ab因为椭圆的左焦点为F,0?,所以a?b?4. ①…………………1分 1??222因为点B2,2在椭圆C上,所以

??42?2?1. ②…………………2分 2ab由①②解得,a?22,b?2.…………………………………………………3分

x2y2??1.………………………………………………4分 所以椭圆C的方程为84(Ⅱ)解法一:因为椭圆C的左顶点为A,则点A的坐标为?22,0.…………5分

??x2y2??1交于两点E,F, 因为直线y?kx(k?0)与椭圆84设点E?x0,y0?(不妨设x0?0),则点F??x0,?y0?.

?y?kx,8?联立方程组?x2y2消去y得x2?. 21?2k?1??4?8所以x0?221?2k2,则y0?22k1?2k2.

所以直线AE的方程为y?k1?1?2k2?x?22?.……………………………6分

???.……………………7分 ?因为直线AE,AF分别与y轴交于点M,N,

?22k令x?0得y?,即点M?0,?1?1?2k21?1?2k2?22k同理可得点N?0,?22k?1?1?2k2????.…………………………………………………8分 ?·12·

所以MN?22k1?1?2k2?22k1?1?2k2?22?1?2k2?k.…………………9分

设MN的中点为P,则点P的坐标为P?0,????2?.…………………………10分 ??k?2则以MN为直径的圆的方程为x??y??2??2??k???2?1?2k2???, ????k????2即x?y?2222y?4.…………………………………………………………11分 k2令y?0,得x?4,即x?2或x??2.

故以MN为直径的圆经过两定点P1?2,0?,P2??2,0?.………………………12分 解法二:因为椭圆C的左端点为A,则点A的坐标为?22,0.……………5分

??x2y2??1交于两点E,F, 因为直线y?kx(k?0)与椭圆84设点E(x0,y0),则点F(?x0,?y0).

所以直线AE的方程为y?y0x0?22?x?22?.………………………………6分

22y0?.……………………………7分 ??x0?22?因为直线AE与y轴交于点M,

令x?0得y?22y0x0?22,即点M?0,????22y0?同理可得点N?0,?x?22??.……………………………………………………8分

0??所以MN?22y022y016y??20.

x0?8x0?22x0?22x02y02??1. 因为点E(x0,y0)在椭圆C上,所以84所以MN?8.……………………………………………………………………9分 y0·13·

?2x0?设MN的中点为P,则点P的坐标为P?0,????.………………………10分 y0???2x0?162则以MN为直径的圆的方程为x??y?. ??2??yy0?0?即x2?y2+222x0y?4.………………………………………………………11分 y02令y?0,得x?4,即x?2或x??2.

故以MN为直径的圆经过两定点P1?2,0?,P2??2,0?.………………………12分 解法三:因为椭圆C的左顶点为A,则点A的坐标为?22,0.……………5分

??x2y2??1交于两点E,F, 因为直线y?kx(k?0)与椭圆84设点E22cos?,2sin?(0????),则点F?22cos?,?2sin?. 所以直线AE的方程为y?????2sin?x?22.………………………6分

22cos??22??因为直线AE与y轴交于点M,

令x?0得y?2sin??2sin??,即点M?0,?.………………………………7分

cos??1cos??1??同理可得点N?0,??2sin???.………………………………………………………8分

cos??1?所以MN?2sin?2sin?4.………………………………………9分 ??cos??1cos??1sin???2cos?sin?2设MN的中点为P,则点P的坐标为P?0,???.………………………10分 ?42cos???则以MN为直径的圆的方程为x2??y?, ??2sin?sin???即x?y?224cos?y?4.………………………………………………………11分 sin?2令y?0,得x?4,即x?2或x??2.

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故以MN为直径的圆经过两定点P1?2,0?,P2??2,0?.………………………12分

(21)(Ⅰ)解:因为f(x)?ex+m?x3,

所以f?(x)?ex+m?3x2.……………………………………………………………1分 因为曲线y?f?x?在点0,f?0?处的切线斜率为1,

所以f??0??em?1,解得m?0.…………………………………………………2分 (Ⅱ)证法一:因为f(x)?ex+m?x3,g?x??ln?x?1??2,

所以f?x??g(x)?x3等价于ex+m?ln?x?1??2?0. 当m?1时,ex+m?ln?x?1??2?ex?1?ln?x?1??2. 要证ex+m?ln?x?1??2?0,只需证明e以下给出三种思路证明e思路1:设h?x??ex?1设p?x??e???x?1?ln(x?1)?2?0.………………4分

x?1?ln(x?1)?2?0.

1. x?1x?1?ln?x?1??2,则h??x??ex?1?11,则p??x??ex?1??0. 2x?1?x?1?1在??1,+??上单调递增.…………………6分 x?1x?1所以函数p?x??h??x??e?1?1?因为h?????e2?2?0,h??0??e?1?0,

?2?所以函数h??x??ex?1?1?1?在??1,+??上有唯一零点x0,且x0???,0?. x?1?2? ………………………………8分 因为h??x0??0,所以ex0+1?1,即ln?x0?1????x0?1?.………………9分 x0?1当x???1,x0?时,h??x??0;当x??x0,???时,h??x??0,

所以当x?x0时,h?x?取得最小值h?x0?.………………………………………10分

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