因为O，O1分别是AC，AC11的中点， 所以OAOC为平行四边形．且OC?OA1?1． 111因为平面ACO1平面BB1D1D?OO1，

过点C作CH?OO1于H，则CH?平面BB1D1D．

过点H作HK?OB1于K，连接CK，则CK?OB1．

所以?CKH是二面角B?OB1?C的平面角的补角．……………………………6分 在Rt?OCO1中，CH?O1C?OCOO1?1?32?32．………………………………7分

?A1B1，所以OB1?在?OCB1中，因为AO1OA12?A1B12?5．

因为A1B1?CD，A1B1//CD， 所以B1C?A1D?2AO?OD2?12．

因为B1C2?OC2?OB12，所以?OCB1为直角三角形．……………………………8分 所以CK?CB1?OCOB1?2?35325?65．…………………………………………9分

所以KH?CK2?CH2?．…………………………………………………10分

所以cos?CKH?KHCK?64．……………………………………………………11分

所以二面角B?OB1?C的余弦值为?

64．……………………………………12分

x2y2（20）（Ⅰ）解法一：设椭圆C的方程为2?2?1(a?b?0)，

ab因为椭圆的左焦点为F，0?，所以a2?b2?4．……………………………1分 1??2设椭圆的右焦点为F2?2，0?，已知点B2,2在椭圆C上， 由椭圆的定义知BF1?BF2?2a，

·11·

??所以2a?32?2?42．………………………………………………………2分 所以a?22，从而b?2．………………………………………………………3分

x2y2??1．………………………………………………4分 所以椭圆C的方程为84x2y2解法二：设椭圆C的方程为2?2?1(a?b?0)，

ab因为椭圆的左焦点为F，0?，所以a?b?4． ①…………………1分 1??222因为点B2,2在椭圆C上，所以

??42?2?1． ②…………………2分 2ab由①②解得，a?22，b?2．…………………………………………………3分

x2y2??1．………………………………………………4分 所以椭圆C的方程为84（Ⅱ）解法一：因为椭圆C的左顶点为A，则点A的坐标为?22,0．…………5分

??x2y2??1交于两点E，F， 因为直线y?kx(k?0)与椭圆84设点E?x0,y0?（不妨设x0?0），则点F??x0,?y0?．

?y?kx,8?联立方程组?x2y2消去y得x2?． 21?2k?1??4?8所以x0?221?2k2，则y0?22k1?2k2．

所以直线AE的方程为y?k1?1?2k2?x?22?．……………………………6分

???．……………………7分 ?因为直线AE，AF分别与y轴交于点M，N，

?22k令x?0得y?，即点M?0,?1?1?2k21?1?2k2?22k同理可得点N?0,?22k?1?1?2k2????．…………………………………………………8分 ?·12·

所以MN?22k1?1?2k2?22k1?1?2k2?22?1?2k2?k．…………………9分

设MN的中点为P，则点P的坐标为P?0,????2?．…………………………10分 ??k?2则以MN为直径的圆的方程为x??y??2??2??k???2?1?2k2???， ????k????2即x?y?2222y?4．…………………………………………………………11分 k2令y?0，得x?4，即x?2或x??2．

故以MN为直径的圆经过两定点P1?2,0?，P2??2,0?．………………………12分 解法二：因为椭圆C的左端点为A，则点A的坐标为?22,0．……………5分

??x2y2??1交于两点E，F， 因为直线y?kx(k?0)与椭圆84设点E(x0,y0)，则点F(?x0,?y0)．

所以直线AE的方程为y?y0x0?22?x?22?．………………………………6分

22y0?．……………………………7分 ??x0?22?因为直线AE与y轴交于点M，

令x?0得y?22y0x0?22，即点M?0,????22y0?同理可得点N?0,?x?22??．……………………………………………………8分

0??所以MN?22y022y016y??20．

x0?8x0?22x0?22x02y02??1． 因为点E(x0,y0)在椭圆C上，所以84所以MN?8．……………………………………………………………………9分 y0·13·

?2x0?设MN的中点为P，则点P的坐标为P?0,????．………………………10分 y0???2x0?162则以MN为直径的圆的方程为x??y?． ??2??yy0?0?即x2?y2+222x0y?4．………………………………………………………11分 y02令y?0，得x?4，即x?2或x??2．

故以MN为直径的圆经过两定点P1?2,0?，P2??2,0?．………………………12分 解法三：因为椭圆C的左顶点为A，则点A的坐标为?22,0．……………5分

??x2y2??1交于两点E，F， 因为直线y?kx(k?0)与椭圆84设点E22cos?,2sin?（0????），则点F?22cos?,?2sin?． 所以直线AE的方程为y?????2sin?x?22．………………………6分

22cos??22??因为直线AE与y轴交于点M，

令x?0得y?2sin??2sin??，即点M?0,?．………………………………7分

cos??1cos??1??同理可得点N?0,??2sin???．………………………………………………………8分

cos??1?所以MN?2sin?2sin?4．………………………………………9分 ??cos??1cos??1sin???2cos?sin?2设MN的中点为P，则点P的坐标为P?0,???．………………………10分 ?42cos???则以MN为直径的圆的方程为x2??y?， ??2sin?sin???即x?y?224cos?y?4．………………………………………………………11分 sin?2令y?0，得x?4，即x?2或x??2．

·14·

故以MN为直径的圆经过两定点P1?2,0?，P2??2,0?．………………………12分

（21）（Ⅰ）解：因为f(x)?ex+m?x3，

所以f?(x)?ex+m?3x2.……………………………………………………………1分 因为曲线y?f?x?在点0，f?0?处的切线斜率为1，

所以f??0??em?1，解得m?0.…………………………………………………2分 （Ⅱ）证法一：因为f(x)?ex+m?x3,g?x??ln?x?1??2，

所以f?x??g(x)?x3等价于ex+m?ln?x?1??2?0． 当m?1时，ex+m?ln?x?1??2?ex?1?ln?x?1??2． 要证ex+m?ln?x?1??2?0，只需证明e以下给出三种思路证明e思路1：设h?x??ex?1设p?x??e???x?1?ln(x?1)?2?0.………………4分

x?1?ln(x?1)?2?0．

1. x?1x?1?ln?x?1??2，则h??x??ex?1?11，则p??x??ex?1??0． 2x?1?x?1?1在??1，+??上单调递增．…………………6分 x?1x?1所以函数p?x??h??x??e?1?1?因为h?????e2?2?0，h??0??e?1?0，

?2?所以函数h??x??ex?1?1?1?在??1，+??上有唯一零点x0，且x0???,0?. x?1?2? ………………………………8分 因为h??x0??0，所以ex0+1?1，即ln?x0?1????x0?1?.………………9分 x0?1当x???1,x0?时，h??x??0；当x??x0,???时，h??x??0，

所以当x?x0时，h?x?取得最小值h?x0?.………………………………………10分

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