所以h?x??h?x0?=e0?ln?x0?1??2?x?11??x0?1??2?0. x0?1综上可知，当m?1时，f?x??g(x)?x3. ……………………………………12分 思路2：先证明ex?1?x?2?x?R?．……………………………………………5分

设h?x??ex?1?x?2，则h??x??ex+1?1．

因为当x??1时，h??x??0，当x??1时，h??x??0，

所以当x??1时，函数h?x?单调递减，当x??1时，函数h?x?单调递增． 所以h?x??h??1??0． 所以ex?1?x?2（当且仅当x??1时取等号）．…………………………………7分

所以要证明ex?1?ln(x?1)?2?0，

只需证明?x?2??ln(x?1)?2?0．………………………………………………8分 下面证明x?ln?x?1??0．

设p?x??x?ln?x?1?，则p??x??1?1x?． x?1x?1当?1?x?0时，p??x??0，当x?0时，p??x??0，

所以当?1?x?0时，函数p?x?单调递减，当x?0时，函数p?x?单调递增． 所以p?x??p?0??0．

所以x?ln?x?1??0（当且仅当x?0时取等号）．……………………………10分 由于取等号的条件不同， 所以ex?1?ln(x?1)?2?0．

综上可知，当m?1时，f?x??g(x)?x3. ……………………………………12分 （若考生先放缩ln?x?1?，或e、ln?x?1?同时放缩，请参考此思路给分！） 思路3：先证明ex?1x?ln(x?1)?2?0．

·16·

t令t?x?1，转化为证明e?lnt?2?t?0?．……………………………………5分

因为曲线y?et与曲线y?lnt关于直线y?t对称，

设直线x?x0?x0?0?与曲线y?et、y?lnt分别交于点A、B，点A、B到直线y?t的距离分别为d1、d2， 则AB?2?d1?d2?． 其中d1?ex0?x02，d2?x0?lnx02?x0?0?．

①设h?x0??ex0?x0?x0?0?，则h??x0??ex0?1． 因为x0?0，所以h??x0??ex0?1?0．

所以h?x0?在?0,???上单调递增，则h?x0??h?0??1． 所以d1?ex0?x02?2． 21x0?1?． x0x0②设p?x0??x0?lnx0?x0?0?，则p??x0??1?因为当0?x0?1时，p??x0??0；当x0?1时，p??x0??0， 所以当0?x0?1时，函数p?x0??x0?lnx0单调递减；

当x0?1时，函数p?x0??x0?lnx0单调递增． 所以p?x0??p?1??1． 所以d2?x0?lnx02?2． 2?22?所以AB?2?d1?d2??2????2??2． 2??综上可知，当m?1时，f?x??g(x)?x3.……………………………………12分 证法二：因为f(x)?ex+m?x3,g?x??ln?x?1??2，

x+m所以f?x??g(x)?x3等价于e?ln?x?1??2?0．…………………………4分

·17·

以下给出两种思路证明ex+m?ln?x?1??2?0． 思路1：设h?x??ex+m?ln?x?1??2，则h??x??e设p?x??ex+mx+m?1. x?1?11，则p??x??ex+m??0． 2x?1?x?1?x+m所以函数p(x)?h??x??e因为m?1， 所以h??1?e?1在?-1，+??上单调递增．………………6分 x?1??m??e?1?ex+m?m+m?em?eme?1?e?1?0，h??0??em?1?0.

??m?所以函数h??x??e?1在?-1，+??上有唯一零点x0，且x0???1?e?m,0?. x?1 …………………8分 因为h??x0??0，所以ex0+m?1，即ln?x0?1???x0?m．………………9分 x0?1当x??0,x0?时，h??x??0；当x??x0,???时，h??x??0.

所以当x?x0时，h?x?取得最小值h?x0?．……………………………………10分 所以h?x??h?x0??e0x+m?ln?x0?1??2?1?x0?m?2 x0?1?1??x0?1??m?3?0． x0?1综上可知，当m?1时，f?x??g(x)?x3．……………………………………12分 思路2：先证明e?x?1(x?R)，且ln(x?1)?x(x??1)．…………………5分 设F(x)?e?x?1，则F?(x)?ex?1．

因为当x?0时，F?(x)?0；当x?0时，F?(x)?0， 所以F(x)在(??,0)上单调递减，在(0,??)上单调递增． 所以当x?0时，F(x)取得最小值F(0)?0．

xx·18·

所以F(x)?F(0)?0，即ex?x?1(x?R)．…………………………………7分 所以ln(x?1)?x（当且仅当x?0时取等号）．…………………………………8分 再证明ex+m?ln?x?1??2?0． 由ex?x?1(x?R)，得e因为x??1，m?1，且e所以 ex+mx?1?x?2（当且仅当x??1时取等号）．…………9分 ?x?2与ln(x?1)?x不同时取等号，

x?1?ln?x?1??2?em?1?ex?1?ln?x?1??2

?em?1(x?2)?x?2?(em?1?1)(x?2)?0．

综上可知，当m?1时，f?x??g(x)?x3．……………………………………12分

（22）（Ⅰ）证明：因为AD是⊙O的切线，

所以?DAC??B（弦切角定理）．………………1分 因为DEF O ． E A B CA，

所以?DAC??EDA．……………………………2分 所以?EDA??B．

因为?AED??DEB（公共角），

D C 所以△AED∽△DEB．……………………………………………………………3分 所以

DEBE2?AEDE．

即DE?AEBE．…………………………………………………………………4分 （Ⅱ）解：因为EF是⊙O的切线，EAB是⊙O的割线，

所以EF?EAEB （切割线定理）．……………………………………………5分 因为EF?4，EA?2，所以EB?8，AB?EB?EA?6．…………………7分 由（Ⅰ）知DE?AEBE，所以DE?4．………………………………………8分

·19·

22因为DE所以

CA，所以△BAC∽△BED． ………………………………………9分

?． EDBA?EDBABEAC所以AC?

BE?6?48?3． …………………………………………………10分

（23）（Ⅰ）解：由??2sin?，???0,2??，

可得?2?2?sin?．…………………………………………………………………1分 因为?2?x2?y2，?sin??y，…………………………………………………2分

2所以曲线C的普通方程为x2?y2?2y?0（或x??y?1??1）． …………4分

2??x?3t?3,（Ⅱ）解法一：因为直线的参数方程为?（t为参数，t?R），

??y??3t?2消去t得直线l的普通方程为y??3x?5． ……………………………………5分

2因为曲线C：x??y?1??1是以G?0,1?为圆心，1为半径的圆，

2设点D?x0,y0?，且点D到直线l：y??3x?5的距离最短， 所以曲线C在点D处的切线与直线l：y??3x?5平行． 即直线GD与l的斜率的乘积等于?1，即

2y0?1??3??1．………………7分 x0??2因为x0??y0?1??1，

解得x0??33或x0?． 22???31??33?，?，?或?．……………………………………9分 ???22??22?所以点D的坐标为??由于点D到直线y??3x?5的距离最短，

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