2020高考数学大一轮复习第三章三角函数、解三角形第六节解三角形的综合应用检测理新人教A版 下载本文

10.在某海域A处正东方向相距80海里的B处有一艘客轮遇险,在原地等待救援.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°,相距40海里的C处的救援船,救援船立即朝北偏东θ角的方向沿直线CB前往B处救援.

(1)若救援船的航行速度为60海里/小时,求救援船到达客轮遇险位置的时间; (2)求tan θ的值.

解:(1)在题图中的△ABC中,AB=80,AC=40,∠BAC=120°,由余弦定理可知:BC2

?1?22222

=AB+AC-2AB·AC·cos 120°,即BC=80+40-2·80·40·?-?=11 200,故BC=

?2?

40727

407,故救援船到达客轮遇险位置所需时间为=小时.

603

(2)在△ABC中,由正弦定理可得显然∠ACB为锐角,

273

故cos∠ACB=,tan∠ACB=,而θ=∠ACB+30°.

72tan∠ACB+tan 30°53

故tan θ=tan(∠ACB+30°)==. 1-tan 30°tan∠ACB3

B级 能力提升练

11

11.(2018·山师附中质检)某人要作一个三角形,要求它的三条高的长度分别是、、

13111

,则此人将( ) 5

A.不能作出满足要求的三角形 B.能作出一个锐角三角形 C.能作出一个直角三角形 D.能作出一个钝角三角形

BCAB21=?sin∠ACB=sin∠BAC=,

sin∠ACBsin∠BACBC7

AB11111

解析:选D.设三角形三边长为a,b,c.根据三角形面积相等得S=a×=c×=b2132521×, 11

∴a=26S,c=10S,b=22S.

5

由大角对大边得26S对应的角最大,

(10S)+(22S)-(26S)23

∴cos A==-<0.

2×10S×22S110又A∈(0,π),∴∠A为钝角,故D正确.

12.(2018·漳州模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2ccos B=2a+b,若△ABC的面积为

1

A. 21C. 6

3

c,则ab的最小值为( ) 12

1B. 3D.3

2

2

2

解析:选B.由正弦定理及2ccos B=2a+b,得2sin Ccos B=2sin A+sin B.因为A+B+C=π,所以sin A=sin(B+C),则2sin C·cos B=2sin(B+C)+sin B,即2sin B·cos

C+sin B=0,又0<B<π,所以sin B>0,则cos C=-.因为0<C<π,所以C=

所以sin C=

1

22π,3

3133222,则△ABC的面积为absin C=ab=c,即c=3ab,结合c=a+b22412

2

2

22

2

2

-2ab·cos C,可得a+b+ab=9ab.∵a+b≥2ab,当且仅当a=b时取等号,∴2ab+

ab≤9a2b2,即ab≥,故ab的最小值是,故选B.

13.(2018·宜昌模拟)如图所示,在海岛A上有一座海拔3千米的山峰,山顶上设有一座观察站P,一艘轮船沿一固定方向匀速航行,上午10:00时,测得此船在岛北偏东20°且俯角为30°的B处,到10:10时,又测得该船在岛北偏西40°且俯角为60°的C处,则该船的航行速度为________km/h.

1

313

解析:在Rt△PAB中,∠APB=60°,PA=3,所以AB=3.在Rt△PAC中,∠APC=30°,所以AC=1.

在△ACB中, ∠CAB=20°+40°=60°, 所以BC=

1

1+9-2×1×3×=7.

2

1

则船的航行速度为7÷=67(km/h).

6答案:67

6

14.(2018·济南二模)已知函数f(x)=m·n,其中向量m=(sin ωx+cos ωx,3cos

ωx),n=(cos ωx-sin ωx,2sin ωx),ω>0,若f(x)的图象上相邻两个对称中心的

距离大于等于π.

(1)求ω的取值范围;

(2)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,a=3,当ω最大时,f(A)=1,求△ABC的面积的最大值.

解:(1)由题意知f(x)=m·n=cos ωx-sin ωx+3sin 2ωx=cos 2ωx+3sin 2

2

2

ωx=2sin?2ωx+?.

6

??

π?

?

T12ππ

∵=·=≥π,ω>0, 222ω2ω1

∴0<ω≤.

2

1?π?(2)由(1)知ωmax=,f(A)=2sin?A+?=1,

6?2?

?π?1

即sin?A+?=.

6?2?

ππ7ππ5π

又0<A<π,∴<A+<,∴A+=,

666662π

得A=.

3

?1?222

又由余弦定理得a=3=b+c-2bc×?-?≥3bc,

?2?

即bc≤1.

1133

∴S△ABC=bcsin A≤×1×=.

2224∴△ABC的面积的最大值为

3

. 4

15.某学校的平面示意图如图中的五边形区域ABCDE,其中三角形区域ABE为生活区,四边形区域BCDE为教学区,AB,BC,CD,DE,EA,

BE为学校的主要道路(不考虑宽度).∠BCD=∠CDE=DE=3BC=3CD= km.

(1)求道路BE的长度;

(2)求生活区△ABE面积的最大值.

2ππ,∠BAE=,33

9

10

7

?3??3?解:(1)如图,连接BD,在△BCD中,BD=BC+CD-2BC·CDcos∠BCD=??+??-?10??10?

2

2

2

22

2π27?3?2×??cos =, 3100?10?

33

∴BD= km.

10

2π-π3π

∵BC=CD,∴∠CDB=∠CBD==,

262ππ

又∠CDE=,∴∠BDE=.

32∴在Rt△BDE中,

2

BE=BD+DE=

22

?33?2?9?233

??+??=5(km). ?10??10?

33

故道路BE的长度为 km. 5(2)设∠ABE=α,∵∠BAE=

π2π

,∴∠AEB=-α. 33

在△ABE中,易得===

sin∠AEBsin∠ABEsin∠BAE6?2π6

-α?∴AB=sin?,AE=sin α. ?5?35?

ABAEBE336

=, π55sin

3

π?1?932π1π9393?1???2α--αsin∴S△ABE=AB·AEsin=sin??+≤25?sin α=25?2?6?4?2325??3???

?1+1?=273(km2).

?24?100??

2πππ7π

∵0<α<,∴-<2α-<. 3666

πππ2732

∴当2α-=,即α=时,S△ABE取得最大值,最大值为 km,

6231002732

故生活区△ABE面积的最大值为 km.

100

8