10．在某海域A处正东方向相距80海里的B处有一艘客轮遇险，在原地等待救援．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距40海里的C处的救援船，救援船立即朝北偏东θ角的方向沿直线CB前往B处救援．
(1)若救援船的航行速度为60海里/小时，求救援船到达客轮遇险位置的时间； (2)求tan θ的值．
解：(1)在题图中的△ABC中，AB＝80，AC＝40，∠BAC＝120°，由余弦定理可知：BC2
?1?22222
＝AB＋AC－2AB·AC·cos 120°，即BC＝80＋40－2·80·40·?－?＝11 200，故BC＝
?2?
40727
407，故救援船到达客轮遇险位置所需时间为＝小时．
603
(2)在△ABC中，由正弦定理可得显然∠ACB为锐角，
273
故cos∠ACB＝，tan∠ACB＝，而θ＝∠ACB＋30°.
72tan∠ACB＋tan 30°53
故tan θ＝tan(∠ACB＋30°)＝＝. 1－tan 30°tan∠ACB3
B级 能力提升练
11
11．(2018·山师附中质检)某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是、、
13111
，则此人将( ) 5
A．不能作出满足要求的三角形 B．能作出一个锐角三角形 C．能作出一个直角三角形 D．能作出一个钝角三角形
BCAB21＝?sin∠ACB＝sin∠BAC＝，
sin∠ACBsin∠BACBC7
AB11111
解析：选D.设三角形三边长为a，b，c.根据三角形面积相等得S＝a×＝c×＝b2132521×， 11
∴a＝26S，c＝10S，b＝22S.
5
由大角对大边得26S对应的角最大，
（10S）＋（22S）－（26S）23
∴cos A＝＝－＜0.
2×10S×22S110又A∈(0，π)，∴∠A为钝角，故D正确．
12．(2018·漳州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2ccos B＝2a＋b，若△ABC的面积为
1
A. 21C. 6
3
c，则ab的最小值为( ) 12
1B． 3D．3
2
2
2
解析：选B.由正弦定理及2ccos B＝2a＋b，得2sin Ccos B＝2sin A＋sin B．因为A＋B＋C＝π，所以sin A＝sin(B＋C)，则2sin C·cos B＝2sin(B＋C)＋sin B，即2sin B·cos
C＋sin B＝0，又0＜B＜π，所以sin B＞0，则cos C＝－.因为0＜C＜π，所以C＝
所以sin C＝
1
22π，3
3133222，则△ABC的面积为absin C＝ab＝c，即c＝3ab，结合c＝a＋b22412
2
2
22
2
2
－2ab·cos C，可得a＋b＋ab＝9ab.∵a＋b≥2ab，当且仅当a＝b时取等号，∴2ab＋
ab≤9a2b2，即ab≥，故ab的最小值是，故选B.
13．(2018·宜昌模拟)如图所示，在海岛A上有一座海拔3千米的山峰，山顶上设有一座观察站P，一艘轮船沿一固定方向匀速航行，上午10：00时，测得此船在岛北偏东20°且俯角为30°的B处，到10：10时，又测得该船在岛北偏西40°且俯角为60°的C处，则该船的航行速度为________km/h.
1
313
解析：在Rt△PAB中，∠APB＝60°，PA＝3，所以AB＝3.在Rt△PAC中，∠APC＝30°，所以AC＝1.
在△ACB中， ∠CAB＝20°＋40°＝60°， 所以BC＝
1
1＋9－2×1×3×＝7.
2
1
则船的航行速度为7÷＝67(km/h)．
6答案：67
6
14．(2018·济南二模)已知函数f(x)＝m·n，其中向量m＝(sin ωx＋cos ωx，3cos
ωx)，n＝(cos ωx－sin ωx，2sin ωx)，ω＞0，若f(x)的图象上相邻两个对称中心的
距离大于等于π.
(1)求ω的取值范围；
(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a＝3，当ω最大时，f(A)＝1，求△ABC的面积的最大值．
解：(1)由题意知f(x)＝m·n＝cos ωx－sin ωx＋3sin 2ωx＝cos 2ωx＋3sin 2
2
2
ωx＝2sin?2ωx＋?.
6
??
π?
?
T12ππ
∵＝·＝≥π，ω＞0， 222ω2ω1
∴0＜ω≤.
2
1?π?(2)由(1)知ωmax＝，f(A)＝2sin?A＋?＝1，
6?2?
?π?1
即sin?A＋?＝.
6?2?
ππ7ππ5π
又0＜A＜π，∴＜A＋＜，∴A＋＝，
666662π
得A＝.
3
?1?222
又由余弦定理得a＝3＝b＋c－2bc×?－?≥3bc，
?2?
即bc≤1.
1133
∴S△ABC＝bcsin A≤×1×＝.
2224∴△ABC的面积的最大值为
3
. 4
15．某学校的平面示意图如图中的五边形区域ABCDE，其中三角形区域ABE为生活区，四边形区域BCDE为教学区，AB，BC，CD，DE，EA，
BE为学校的主要道路(不考虑宽度)．∠BCD＝∠CDE＝DE＝3BC＝3CD＝ km.
(1)求道路BE的长度；
(2)求生活区△ABE面积的最大值．
2ππ，∠BAE＝，33
9
10
7
?3??3?解：(1)如图，连接BD，在△BCD中，BD＝BC＋CD－2BC·CDcos∠BCD＝??＋??－?10??10?
2
2
2
22
2π27?3?2×??cos ＝， 3100?10?
33
∴BD＝ km.
10
2π－π3π
∵BC＝CD，∴∠CDB＝∠CBD＝＝，
262ππ
又∠CDE＝，∴∠BDE＝.
32∴在Rt△BDE中，
2
BE＝BD＋DE＝
22
?33?2?9?233
??＋??＝5(km)． ?10??10?
33
故道路BE的长度为 km. 5(2)设∠ABE＝α，∵∠BAE＝
π2π
，∴∠AEB＝－α. 33
在△ABE中，易得＝＝＝
sin∠AEBsin∠ABEsin∠BAE6?2π6
－α?∴AB＝sin?，AE＝sin α. ?5?35?
ABAEBE336
＝， π55sin
3
π?1?932π1π9393?1???2α－－αsin∴S△ABE＝AB·AEsin＝sin??＋≤25?sin α＝25?2?6?4?2325??3???
?1＋1?＝273(km2)．
?24?100??
2πππ7π
∵0＜α＜，∴－＜2α－＜. 3666
πππ2732
∴当2α－＝，即α＝时，S△ABE取得最大值，最大值为 km，
6231002732
故生活区△ABE面积的最大值为 km.
100
8