10讲 应用问题选讲

我们知道，数学是一门基础学科。我们在学校中学习数学的目的，一方面是为学习其它学科和学习更深的数学知识打下一个基础，更重要的是为了现在和将来运用所学的数学知识去解决一些日常生活、科学实验、工农业生产以及经济活动中所遇到的实际问题。

运用数学知识解决实际问题的基本思路是：先将这个实际问题转化为一个数学问题（我们称之为建立数学模型），然后解答这个数学问题，从而解决这个实际问题。即：

这里，建立数学模型是关键的一步。也就是说，要通过审题，将实际问题与自己学过的数学知识、数学方法联系起来，将其归结到某一类型的数学问题，然后解答这个数学问题。下面介绍一些典型的数学模型。 一、两个量变化时，和一定的问题

两个变化着的量，如果在变化的过程中，它们的和始终保持不变，那么它们的差与积之间有什么关系呢？ 观察下面的表：

我们不难得出如下的规律：

两个变化着的量，如果在变化的过程中，和始终保持不变，那么它们的差越小，积就越大。若它们能够相等，则当它们相等时，积最大。 这个规律对于三个和三个以上的变量都是成立的。

例1 农民叔叔阿根想用20块长2米、宽1.2米的金属网建一个靠墙的长方形鸡窝。为了防止鸡飞出，所建鸡窝的高度不得低于2米，要使鸡窝面积最大，长方形的长和宽分别应是多少？

解：如上图，设长方形的长和宽分别为x米和y米，则有

x＋2y＝1.2×20＝24。

长方形的面积为

因为x和2y的和等于24是一个定值，故它们的乘积当它们相等时最大，此时长方形面积S也最大。于是有

x=12， y＝6。

例2 如果将进货单价为40元的商品按50元售出，那么每个的利润是10元，但只能卖出500个。当这种商品每个涨价1元时，其销售量就减少10个。为了赚得最多的利润，售价应定为多少？

解：设每个商品售价为（50+x）元，则销量为（500-10X）个。总共可以获利

（50＋x-40）×（500-10x） =10×（10+X）×（50-X）（元）。

因（10+x）+（50－x）=60为一定值，故当10+X=50－X即X=20时，它们的积最大。

此时，每个的销售价为50＋20=70（元）。

例3 若一个长方体的表面积为54厘米2，为了使长方体的体积最大，长方体的长、宽、高各应为多少厘米？

解：设长、宽、高分别为x，y，z厘米，体积为V厘米3。

2（xy＋yz+zx）=54，xy＋yz+zx=27。

因为V2=（xyz）2=（xy）（yz）（zx），

故当 xy=yz=zx即 x=y=z=3时，V2有最大值，从而V也有最大值。 例4 有一块长24厘米的正方形厚纸片，在它的四个角各剪去一个小正方形，就可以做成一个无盖的纸盒，现在要使做成的纸盒容积最大，剪去的小正方形的边长应为几厘米？

解：如上图，设剪去的小正方形的边长为x厘米，则纸盒的容积为

V=x（24-2x）（24-2x） =2×2x（12-x）（12-x）。

因为2x+（12-x）+（12-x）=24 是一个定值，故当

2x=12-x＝12-x，

即x=4时，其乘积最大，从而纸盒的容积也最大。 二、两个量变化时，积一定的问题

两个变化着的量，如果在变化的过程中，它们的乘积始终保持不变，那么它们的差与和之间有什么关系呢？ 观察下面的表：

我们不难得出如下的规律：