2.3.4 圆与圆的位置关系
示范教案 整体设计
教学分析
教材通过例题介绍了利用方程判断两圆的位置关系．让学生进一步感受坐标方法在研究几何问题中的作用．值得注意的是针对学生的实际情况来学习坐标法讨论两圆的位置关系，对于基础较差的学生，建议不学习，对于基础较好的学生可以作为课后阅读教材，否则本节课的教学目标完不成．
三维目标
1．掌握圆与圆的位置关系的判定，培养学生分析问题和解决问题的能力．
2．了解用坐标方法讨论两圆位置关系，体会坐标方法在研究几何问题中的作用，提高应用能力．
重点难点
教学重点：利用方程判定两圆位置关系． 教学难点：用坐标方法讨论两圆位置关系． 课时安排 1课时
教学过程 导入新课
设计1.前面我们学习了利用方程判断点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系，那么，圆与圆的位置关系有哪几种呢？如何利用方程判断圆与圆之间的位置关系呢？教师板书课题：圆与圆的位置关系．
设计2.我们知道，日食和月食都是一种自然现象，如果把月球、地球、太阳都抽象成圆，那么这两种自然现象就展现了两圆的位置关系，如何利用方程来描述这一现象呢？教师点出课．
推进新课 新知探究 提出问题
初中学过的平面几何中，圆与圆的位置关系有几种？画图表示，并指出判断方法. 讨论结果：
外离 d>R＋r 外切 d＝R＋r 相交 |R－r| 应用示例 思路1 例1判断下列两个圆的位置关系： 2222 (1)C1：x＋y－2x－3＝0，C2：x＋y－4x＋2y＋3＝0； (2)C1：x＋y－2y＝0，C2：x＋y－23x－6＝0. 解：(1)已知两圆的方程可分别变形为 2 2 2 2 (x－1)＋y＝2，(x－2)＋(y＋1)＝(2). 由此可知圆心C1的坐标为(1,0)，半径r1＝2；圆心C2的坐标为(2，－1)，半径r2＝2. 22 设两圆的圆心距为d，则：d＝|C1C2|＝－＋－＝2.r1＋r2＝2＋2，r1 －r2＝2－2. 所以r1－r2 222 (2)已知两圆的方程分别变形为：x＋(y－1)＝1， (x－3)＋y＝3. 由此可知圆心C1的坐标为(0,1)，半径r1＝1；圆心C2的坐标为(3，0)，半径r2＝3，则两圆的圆心距 d＝3 2 2 2 2 222222 ＋1＝2，所以d＝r2－r1. 2 因此这两个圆内切． 点评：判断两个圆的位置关系．几何法：即两个圆的圆心坐标、半径长、连心线长的关系来判别两个圆的位置关系．设两圆的连心线长为d，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点： ①当d>R＋r时，圆C1与圆C2外离； ②当d＝R＋r时，圆C1与圆C2外切； ③当|R－r| 1．在平面直角坐标系中分别作出圆心为C1(0,0)，C2(1,1)，半径分别为1,2的两圆， 并判断两圆的位置关系． 解：作出两圆，如下图． 22 两圆半径分别记作r1和r2，则r1＝1，r2＝2，圆心距d＝|C1C2|＝－＋－＝2，于是，1＝|r1－r2| 2222 2．判断圆C1：x＋y＋2x－6y－26＝0与圆C2：x＋y－4x＋2y＋4＝0的位置关系，并画出图形． 22 解：由已知得圆C1：(x＋1)＋(y－3)＝36， 其圆心C1(－1,3)，半径r1＝6； 22 圆C2：(x－2)＋(y＋1)＝1， 其圆心C2(2，－1)，半径r2＝1. 于是|C1C2|＝＋＋－1－＝5. 又|r1－r2|＝5，即|C1C2|＝|r1－r2|， 所以两圆内切．如下图． 2 2 3．x＋y－2x＝0和圆O2：x＋y－4y＝0的位置关系是( ) A．相离 B．相交 C．外切 D．内切 2222 解析：圆O1：x＋y－2x＝－1)＋y＝1， 故圆心为(1,0)，半径为1. 2222 圆O2：x＋y－4y＝＋(y－2)＝4， 故圆心为(0,2)，半径为2. 2 2 2 2 则圆心距d＝－＋－＝5. 而2－1<5<1＋2，即两圆相交． 答案：B 例2试用坐标方法讨论两圆位置关系．(本题针对学生实际选用) 解：如下图所示，以O1为坐标原点，使x轴通过O1，O2，且O2在x轴的正半轴上，建立直角坐标系xOy. 22 这样，可设⊙O2的圆心的坐标为(d,0)．这时两圆的圆心距等于d，两圆的方程分别为 222 x＋y＝r1 ① 222 (x－d)＋y＝r2. ② 将①②两式联立，研究此方程组的解． r1－r2＋d ①－②，整理可得x＝. 2d将x值代入①，得 y＝r－＝＝＝＝ 111 2 21 21 2 2 2 －r2＋d 24d 2 222 2 1 ＋r1－r2＋d 2 2 2 －r1＋r2－d 2 222 4d ＋ 2 2 －r2][r2－ 24d 1 1 － 1 ] 2 ＋r2＋ 1 －r2＋ 4d 22 1 ＋r2－ 2 －r1＋ ＋r2 2 －d][d－ 24d 2 －r2 ].