不等关系与不等式一元二次不等式及其解法强化训练
一、选择题
1.若f(x)＝3x－x＋1，g(x)＝2x＋x－1，则f(x)，g(x)的大小关系是( ) A.f(x)＝g(x) C.f(x)＜g(x)
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B.f(x)＞g(x) D.随x的值变化而变化
解析 f(x)－g(x)＝x－2x＋2＝(x－1)＋1＞0?f(x)＞g(x). 答案 B
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2.已知下列四个条件：①b＞0＞a，②0＞a＞b，③a＞0＞b，④a＞b＞0，能推出＜成立
ab的有( ) A.1个 C.3个
B.2个 D.4个
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解析 运用倒数性质，由a＞b，ab＞0可得＜，②、④正确.又正数大于负数，①正确，
ab③错误，故选C. 答案 C
3.若集合A＝{x|3＋2x－x>0}，集合B＝{x|2<2}，则A∩B等于( ) A.(1，3) C.(－1，1)
B.(－∞，－1) D.(－3，1)
2
x解析 依题意，可求得A＝(－1，3)，B＝(－∞，1)，∴A∩B＝(－1，1). 答案 C
4.若集合A＝{x|ax－ax＋1＜0}＝?，则实数a的取值范围是( ) A.{a|0＜a＜4} C.{a|0＜a≤4}
解析 由题意知a＝0时，满足条件.
??a＞0，
a≠0时，由?得0＜a≤4，所以0≤a≤4. 2
?Δ＝a－4a≤0，?
2
B.{a|0≤a＜4} D.{a|0≤a≤4}
答案 D
5.已知函数f(x)＝－x＋ax＋b－b＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋
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x)成立，若当x∈[－1，1]时，f(x)＞0恒成立，则b的取值范围是( )
A.(－1，0)
C.(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B.(2，＋∞) D.不能确定
解析 由f(1－x)＝f(1＋x)知f(x)的图象关于直线x＝1对称，即＝1，解得a＝2.
2又因为f(x)开口向下，
a所以当x∈[－1，1]时，f(x)为增函数，
所以f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b－b＋1＝b－b－2，
2
2
f(x)＞0恒成立，即b2－b－2＞0恒成立，
解得b＜－1或b＞2. 答案 C
6.若实数a，b，c满足对任意实数x，y有3x＋4y－5≤ax＋by＋c≤3x＋4y＋5，则( ) A.a＋b－c的最小值为2 B.a－b＋c的最小值为－4 C.a＋b－c的最大值为4 D.a－b＋c的最大值为6
解析 由题意可得－5≤(a－3)x＋(b－4)y＋c≤5恒成立，所以a＝3，b＝4，
－5≤c≤5，则2≤a＋b－c≤12，即a＋b－c的最小值是2，最大值是12，A正确，C错误；－6≤a－b＋c≤4，则a－b＋c的最小值是－6，最大值是4，B错误，D错误，故选A. 答案 A 二、填空题
??x＋2x，x≥0，
7.已知函数f(x)＝?则不等式f(x)＞3的解集为________. 2
?－x＋2x，x＜0，?
???x≥0，?x＜0，
解析 由题意知?2或?2解得x＞1.故原不等式的解集为{x|x＞1}.
??x＋2x＞3－x＋2x＞3，??
2
答案 {x|x＞1}
1?4?2
8.若关于x的不等式ax＞b的解集为?－∞，?，则关于x的不等式ax＋bx－a＞0的解集
5?5?为________.
1?b14?2
解析 由已知ax＞b的解集为?－∞，?，可知a＜0，且＝，将不等式ax＋bx－a＞0
5?a55?
b41444222
两边同除以a，得x＋x－＜0，即x＋x－＜0，解得－1＜x＜，故不等式ax＋bx－aa55555
4??＞0的解集为?－1，?. 5??4??答案 ?－1，? 5
??
9.不等式a＋8b≥λb(a＋b)对于任意的a，b∈R恒成立，则实数λ的取值范围为________. 解析 因为a＋8b≥λb(a＋b)对于任意的a，b∈R恒成立，所以a＋8b－λb(a＋b)≥0对于任意的a，b∈R恒成立，即a－λba＋(8－λ)b≥0恒成立， 由二次不等式的性质可得，
Δ＝λb＋4(λ－8)b＝b(λ＋4λ－32)≤0，
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所以(λ＋8)(λ－4)≤0， 解得－8≤λ≤4. 答案 [－8，4]
10.(2019·杭州高级中学测试)若关于x的不等式(x－a)·(2x＋b)≥0在(a，b)上恒成立，则2a＋b的最小值为________.
解析 要使2a＋b取得最小值，尽量考虑a，b取负值的情况.因此当a 2 －a)(2x＋b)≥0等价于2x＋b≥0，即b≥－2x在(a，b)上恒成立，则b≥－2a>0，与b≤0矛盾；当a<0 11.已知f(x)＝－3x＋a(6－a)x＋6. (1)解关于a的不等式f(1)＞0； (2)若不等式f(x)＞b的解集为(－1，3)，求实数a，b的值. 解 (1)由题意知f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a＋6a＋3＞0，即a－6a－3＜0，解得3－23＜a＜3＋23. 所以不等式的解集为{a|3－23＜a＜3＋23}. (2)∵f(x)＞b的解集为(－1，3)， ∴方程－3x＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1，3， 2 2 2 2 2 a（6－a） （－1）＋3＝，?3??a＝3±3，∴?解得? 6－bb＝－3.?（－1）×3＝－，?3? 即a的值为3±3，b的值为－3.