计算题专训（二）

17．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn?（1）求数列{an}的通项公式；

4?an?1?,n?N*． 3??111（2）令bn?log2an，记数列?证明：≤Tn?． ?的前n项和为Tn．

32?(bn?1)(bn?1)?【解析】解：（1）当n?1时，有a1?S1?当n≥2时，有Sn?1?4?a1?1?，解得a1?4. 3444?an?1?1?，则an?Sn?Sn?1??an?1???an?1?1?， 333整理得：

an?4，?数列?an?是以q?4为公比，以a1?4为首项的等比数列． an?1?an?4?4n?1?4n?n?N*?，

即数列?an?的通项公式为：an?4n?n?N*?．……………………………6分 （2）由（1）有bn?log2an?log24n?2n，则

1?bn?1??bn?1??Tn??1?11?=??

?2n?1??2n?1?2?2n?12n?1??11111??????? 1?33?55?72n?12n?1?????1??11??11??11?1???1???????????????????? 2?1335572n?12n?1??????????1?1???1?? 2?2n?1?易知数列?Tn?为递增数列，

?T1≤Tn?，即≤Tn?12131．………………………………………12分 218．（本小题满分12分）

据统计，2017年国庆中秋假日期间，黔东南州共接待游客590.23万人次，实现旅游收入48.67亿元，同比分别增长44.57%、55.22%．旅游公司规定：若公司导游接待旅客，旅游年总收入不低于40（单位：百万元），则称为优秀导游.经验表明，如果公司的优秀导游率越高，则该公司的影响度越高．已知甲、乙两家旅游公司各有导游100名，统计他们一年内旅游总收入，分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下：

分组 ?10,20? b ?20,30? 18 ?30,40? 49 ?40,50? 24 ?50,60? 5 频数 （1）求a,b的值，并比较甲、乙两家旅游公司，哪家的影响度高． （2）若导游的奖金y（单位：万元），与其一年内旅游总收入x（单位：百万元）

?1 x?20?之间的关系为y??2 20≤x?40，求甲公司导游的年平均奖金；

?3 x≥40?（3）从甲、乙两家公司旅游收入在?50,60?的总人数中，随机的抽取3人进行表彰，设来自乙公司的人数为?，求?的分布列及数学期望．

【解析】解：（1）由直方图知：有a?0.02， ?0.01?0.025?0.035?a?0.01??10?1，

由频数分布表知：b?18?49?24?5?100，有b?4．

?甲公司的导游优秀率为：?0.02?0.01??10?100%?30%； 乙公司的导游优秀率为：

24?5?100%?29%； 100由于30%?29%，所以甲公司的影响度高．………………………4分 （2）甲公司年旅游总收入?10,20?的人数为0.01?10?100?10人； 年旅游总收入?20,40?的人数为?0.025?0.035??10?100?60人； 年旅游总收入?40,60?的人数为?0.02?0.01??10?100?30人； 故甲公司导游的年平均奖金y?1?10?60?2?30?3．……8分 ?2.2（万元）

100（3）由已知得，年旅游总收入在?50,60?的人数为15人，其中甲公司10人，乙公司5人．故?的可能取值为0，1，2，3易知：

3212C10C10C1CC244520；p???1??35?；p???2??1035?；p???0??3?C1591C1591C15913C52p???3??3?．

C1591??的分布列为：

? p 0 24 911 2 3 2 9145 9120 91??的数学期望为：E(?)?0?19．（本小题满分12分）

2445202?1??2??3??1．…………12分 91919191