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蝴蝶模型和燕尾定理练习题

1、如图，已知BD?DC，EC?2AE，三角形ABC的面积是30，求阴影部分面积. 【解析】 题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们

可以初步判断这道题不应该通过面积公式求面积.又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线， (法一)连接CF，因为，EC?2AE，三角形ABC的面积是30，

所以S△ABE?S△ABC?10，S△ABD?S△ABC?15． 根据燕尾定理，

14S△ABFAE1SBD??，BD?DC△ABF??1, S△CBFEC2S△ACFCD1312所以S△ABF?S△ABC?7.5，S△BFD?15?7.5?7.5， 所以阴影部分面积是30?10?7.5?12.5． (法二)连接DE，由题目条件可得到S△ABE?S△ABC?10， AFS△ABE1112??， S△BDE?S△BEC??S△ABC?10，所以FDS△BDE1223111111S△DEF??S△DEA???S△ADC????S△ABC?2.5， 22323221而S△CDE???S△ABC?10．所以阴影部分的面积为12.5． 32132、(2007年香港圣公会数学竞赛)如图所示，在△ABC中，CP?CB，CQ?CA，BQ与AP相交于点X，若△ABC的面积为6，则△ABX的面积等于． 【解析】 方法一：连接PQ． 211，?SS?S?SABC． ABQABCBPQBCQ32621由蝴蝶定理知，AX:XP?SABQ:SBPQ?SABC:SABC?4:1， 3644122所以SABX?SABP??SABC?SABC??6?2.4． 55255方法二：连接CX设S△CPX?1份，根据燕尾定理标出其他部分面积， 1213由于CP?CB，CQ?CA，所以S1213所以S△ABX?6?(1?1?4?4)?4?2.4 3、如图所示，在四边形ABCD中，AB?3BE，AD?3AF，四边形AEOF的面积是12，那么平行四边形BODC的面积为________．

【解析】 连接AO,BD,根据燕尾定理S△ABO:S△BDO?AF:FD?1:2,S△AOD:S△BOD?AE:BE?2:1,设

S△BEO?1,则其他图形面积，如图所标，所以SBODC?2SAEOF?2?12?24.

4、ABCD是边长为12厘米的正方形，E、F分别是AB、BC边的中点，AF与CE交于G，则四边形AGCD的面积是_________平方厘米．

【解析】 连接AC、GB，设S△AGC?1份，根据燕尾定理得S△AGB?1份，S△BGC?1份，则

S正方形?（1?1?）1?2?6SADCG?3?1?4份，所以SADCG?122?6?4?96(cm2) 份，

5、（2009年清华附中入学测试题）如图，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、BC上的点，且

11AE?AB，CF?BC，AF与CE相交于G，若矩形ABCD的面积为120，则?AEG与?CGF的面积之

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精心整理 和为． 【解析】 (法1)如图，过F做CE的平行线交AB于H，则EH:HB?CF:FB?1:3，

所以AE?EB?2EH，AG:GF?AE:EH?2，即AG?2GF，

12231． ABCD?103394222311且EG?HF??EC?EC，故CG?GE，则S?CGF?1??S?AEG?5．

23342所以两三角形面积之和为10?5?15． (法2)如上右图，连接AC、BG．

根据燕尾定理，S?ABG:S?ACG?BF:CF?3:1，S?BCG:S?ACG?BE:AE?2:1，

1而S?ABC?SABCD?60，

23121所以S?ABG?，S?ABC??60?30，S?BCG?，S?ABC??60?20， 3?2?123?2?1311则S?AEG?S?ABG?10，S?CFG?S?BCG?5， 3412所以S?AEG???S?ABF???S所以两个三角形的面积之和为15． 6、两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示，三个三角形的面积分别是3，7，

7，则阴影四边形的面积是多少？ 【解析】 方法一：遇到没有标注字母的图形，我们第一步要做的就是给图形各点标注字母，方便后面的计算. 再看这道题，出现两个面积相等且共底的三角形． 设三角形为ABC，BE和CD交于F，则BF?FE，再连结DE． 所以三角形DEF的面积为3.设三角形ADE的面积为x， 则x:?3?3??AD:DB??x?10?:10，所以x?15，四边形的面积为18． 方法二：设S△ADF?x，根据燕尾定理S△ABF:S△BFC?S△AFE:S△EFC,得到S△AEF?x?3，再根据向右下飞的燕子，有(x?3?7):7?x:3，解得x?7.5四边形的面积为7.5?7.5?3?18 7、如下图，正方形ABCD的面积是a，正三角形BPC的面积是b，求阴影三角形BPD的面积． 【分析】连接AC交BD于O点，并连接PO．如图所示， 可得PO//DC，所以三角形DPO与三角形CPO面积相等(同底等高)，所以有:?? 8、已知四边形ABCD和CEFG都是正方形，且正方形ABCD的边长为10厘米，那么图中阴影三角形BFD的面积为多少平方厘米? 【分析】连接FC，有FC平行BD，设BF与DC连接于O，那么在梯形蝴蝶中有 9、如图，已知在平行四边形ABCD中，AB=16，AD=10，BE=4，那么FC的长度是多少?

【分析】图中有一个沙漏，也有金字塔，但我们用沙漏就能解决问题，因为AB平行于CD,所以

BF:FC?BE:CD?4:16?1:4,所以FC?10?4?8. 1?410、四边形ABCD和四边形CEFG是两个正方形，BF与CD相交于H,已知CH:DH=1:2,S?BCH?6,求五边形ABEFD的面积。

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【分析】因为CH:DH=1:2，所以S?BCH:S?BHD?1:2,即S?BHD=2×6=12

S?BCD?18,所以正方形ABCD面积为36，BC=6 又S?BCH?6，所以CH=2

连接CF,由蝴蝶定理得：S?DFH?S?BCH?6 设小正方形边长为a，则2a?6得a?3 S?SABCD?SCEFD?S?DFG=6×6+3×3＋（6-3）×3÷2=49.5

11、如图，已知正方形ABCD的边长为10厘米，E为AD中点，F为CE中点，G为BF中点，求三角形BDG的面积．

【分析】 设BD与CE的交点为O，连接BE、DF．

由蝴蝶定理可知EO:OC?SEO:O?CSD:EBED:SBCD，而SBED1?S4ABCD，SBCD1?S2ABCD，所以

1S?1:，故EO?EC． BBCD31由于F为CE中点，所以EF?EC，故EO:E?F2:，32FO:EO?1:2．由蝴蝶定理可知SBFD:SBED?FO:EO?1:2，11所以SBFD?SBED?SABCD， 28那么SADGHFB1EC（平方厘米）． ?10?10?6.25BGDBFDABCD1612、点E、M分别为直角梯形ABCD两边上的点，且DQ、CP、ME彼此平行，若AD?5，BC?7,AE?5，EB?3．求阴影部分的面积． 1?S2?1S16?【分析】 连接CE、DE．由于DQ、CP、ME彼此平行，所以四边形CDQP是梯形，且ME与该梯形的两个底平行，那么三角形QME与DEM、三角形PME与CEM的面积分别相等，所以三角形PQM的面积与三角形CDE的面积相等．而三角形CDE的面积根据已知条件很容易求出来． 由于ABCD为直角梯形，且AD?5，BC?7,AE?5，EB?3，所以三角形CDE的面积的面积为：?5?7???5?3???5?5??3?7??25．所以三角形PQM的面积为25．

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