3.4 基本不等式
[课时作业] [A组 基础巩固]
1.下列不等式正确的是( ) 1
A.a+≥2
a?1?B.(-a)+?-?≤-2
?a?
?1?22
D.(-a)+?-?≤-2
?a?
a2+2
a21
12
C.a+2≥2
a122
解析:因为a+2中a>0,所以
a≥a2·2,
a1
1?21?12
即?a+2?≥1,所以a+2≥2.
a?2?a答案:C
1x2.已知m=a++1(a>0),n=3(x<1),则m,n之间的大小关系是( )
aA.m>n C.m=n
1
解析:因为a>0,所以m=a++1≥2B.m
aa·+1=3,当且仅当a=1时等号成立.又因为x<1,a1
所以n=3<3=3,所以m>n. 答案:A
3.已知0
1B. 22D. 3
x1
11931
解析:由x(3-3x)=×3x(3-3x)≤×=,当且仅当3x=3-3x,即x=时等号成立.
33442答案:B
1
4.已知f(x)=x+-2(x<0),则f(x)有( )
xA.最大值为0 C.最大值为-4
B.最小值为0 D.最小值为-4
1
解析:∵x<0,∴f(x)=-?-1时取等号. 答案:C
?-x+1?-2≤-2-2=-4,当且仅当-x=1,即x=
?-x?-x?
5.下列不等式中正确的是( ) 4
A.a+≥4
aB.a+b≥4ab 32
D.x+2≥23
22
C.ab≥
a+b2
x422
解析:a<0,则a+≥4不成立,故A错;a=1,b=1,a+b<4ab,故B错,a=4,b=16,则
aa+bab<,故C错;由基本不等式可知D项正确.
2
答案:D
6.已知a>b>c,则
a-ba-cb-c与的大小关系是________.
2
解析:因为a-b>0,b-c>0,a-c>0. 所以
a-bb-c≤
a-b+b-c2
=
a-c2
.
当且仅当a-b=b-c,即2b=a+c时取等号. 所以答案:
a-ba-bb-c≤
a-c2
.
a-cb-c≤
2
18
7.当x>时,函数y=x+的最小值为________.
22x-11
解析:设t=2x-1,∵x>,∴2x-1>0,即t>0,
2∴y=
t+18t81
+=++≥22t2t2t819
·+=. 2t22
t85
当且仅当=,即t=4, x=时,取等号.
2t2
9
答案:
2
8.若x,y均为正实数,且x+4y=1,则x·y的最大值为________. 解析:1=x+4y≥24xy=4xy,
2
1
∴xy≤,当且仅当x=4y时等号成立.
161
答案:
16
9.已知不等式ax-3x+2<0的解集为A={x|1
(2)求函数f(x)=(2a+b)x+
25
(x∈A)的最小值.
b-ax+a2
2
解析:(1)由题意知,1,b是方程ax-3x+2=0的两根,且b>1,
??a-3+2=0,∴?2
?ab-3b+2=0,?
??a=1,
解得?
?b=2.?
(2)由(1)得f(x)=(2×1+2)x+=4(x+1)+
25
-4≥2x+1
4
2525
=4x+
2-1x+1x+1
25
x+1·-4=16.
x+1
当且仅当4(x+1)=
253
,即x=∈A时等号成立. x+12
∴函数f(x)的最小值为16.
10.某汽车公司购买了4辆大客车,每辆200万元,用于长途客运,预计每辆车每年收入约100万元,每辆车第一年各种费用约为16万元,且从第二年开始每年比上一年所需费用要增加16万元.
(1)写出4辆车运营的总利润y (万元)与运营年数x(x∈N)的函数关系式; (2)这4辆车运营多少年,可使年平均运营利润最大? 解析:(1)依题意,每辆车x年总收入为100x万元, 总支出为200+16×(1+2+…+x) 1
=200+x(x+1)·16(万元).
21?∴y=4?100x-200-x2?
2
*
x+1·16??
?
=16(-2x+23x-50). (2)年平均利润为
50?y???25??=16?23-2x-?=16?23-2?x+??. x?x??x???又x∈N,
*
3