上海市2016普陀区初三数学二模试卷(含答案) 下载本文

23.如图,已知在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线AC、BD相交于点O,BD平分∠ABC,过点D作DF∥AB分别交AC、BC于点E、F. (1)求证:四边形ABFD是菱形; (2)设AC⊥AB,求证:AC?OE=AB?EF.

【考点】相似三角形的判定与性质;菱形的判定与性质. 【专题】证明题.

【分析】(1)根据已知条件得到四边形ABFD是平行四边形,由角平分线的定义得到∠ABD=∠DBC,根据平行线的性质得到∠ADB=∠CBD,等量代换得到∠ADB=∠ABD,证得AB=AD,即可得到结论; (2)连接AF,OF,根据菱形的性质得到BD垂直平分AF,线段垂直平分线的性质得到AO=OF,由等腰三角形的性质得到∠ABD=∠FAC,推出△ABC∽△EOF,根据相似三角形的性质得到结论. 【解答】证明:(1)∵AD∥BC,DF∥AB, ∴四边形ABFD是平行四边形, ∵BD平分∠ABC, ∴∠ABD=∠DBC, ∵AD∥BC, ∴∠ADB=∠CBD, ∴∠ADB=∠ABD, ∴AB=AD,

∴四边形ABFD是菱形;

(2)连接AF,OF, ∵AC⊥AB,∴∠BAC=90°, ∴∠CEF=∠BAC=90°, ∵四边形ABFD是菱形, ∴BD垂直平分AF, ∴AO=OF, ∴∠ABD=∠FAC,

∴∠FOE=2∠FCA=2∠ABD=∠ABC, ∴△ABC∽△EOF, ∴

∴AC?OE=AB?EF.

【点评】本题考查了菱形的判定和性质,平行线的性质,相似三角形的判定和性质,正确的作出辅助线是解题的关键.

24.如图,在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=

+bx+c的图象与y轴交于点A,与双曲线y=有

一个公共点B,它的横坐标为4,过点B作直线l∥x轴,与该二次函数图象交于另一个点C,直线AC在y轴上的截距是﹣6. (1)求二次函数的解析式; (2)求直线AC的表达式;

(3)平面内是否存在点D,使A、B、C、D为顶点的四边形是等腰梯形?如果存在,求出点D坐标;如果不存在,说明理由.

【考点】二次函数综合题.

【分析】(1)先求得点A与点B的坐标,然后依据待定系数法可求得抛物线的解析式;

(2)先求得抛物线的对称轴为x=﹣1,依据点B与点C关于x=﹣1对称,可求得点C的坐标,然后依据待定系数法可求得直线AC的解析式;

(3)①当CD∥AB时,AC=BC,故点D不存在;②如图1所示:当AD∥BC时,AB<AC,过点A作BC平行线l,以C为圆心,AB为半径作弧,交l与点D1点,依据点A与D1关于x=﹣1对称可求得点D1的坐标;③如图2所示:BD∥AC时,过点C作CM⊥x轴,过点A作AM⊥y轴,过点B作BF⊥AC,D2E⊥AC.先依据AAS证明△AMC≌△CBF,从而可求得AF=CE=4,于是得到D2B=2,然后再证明BHD2∽△AMC,从而可求得BH=,HD2=,于是可求得点D2的坐标. 【解答】解:(1)∵将x=4代入y=得:y=2, ∴B(4,2).

∵点A在y轴上,且直线AC在y轴上的截距是﹣6, ∴A(0,﹣6).

∵将B(4,2)、A(0,﹣6)代入抛物线的解析式得:

,解得:

∴抛物线的解析式为y=+﹣6.

(2)∵抛物线的对称轴为x=﹣=﹣1.

∴点B关于x=﹣1的对称点C的坐标为(﹣6,2). 设直线AC的解析式为y=kx+b.

∵将点A(0,﹣6)、C(﹣6,2)代入得:∴直线AC的解析式为y=

﹣6.

,解得:k=﹣,b=﹣6,

(3)①∵B(4,2)C(﹣6,2), ∴BC=10.

∵A(0,﹣6)、C(﹣6,2), ∴AC=∴AC=BC.

∴当CD∥AB时,不存在点D使得四边形A、B、C、D为顶点的四边形是等腰梯形. ②如图1所示:

=10.

当AD∥BC时,AB<AC,过点A作BC平行线l,以C为圆心,AB为半径作弧,交l与点D1点,A与D1关于x=﹣1对称, ∴D1(﹣2,﹣6).

③如图2所示:BD∥AC时,过点C作CM⊥x轴,过点A作AM⊥y轴,过点B作BF⊥AC,D2E⊥AC.

∵CB∥AM, ∴∠BCA=∠CAM. 在△AMC和△CBF中,

∴△AMC≌△CBF. ∴CF=AM=6. ∴AF=4.

∵梯形ABD2C是等腰梯形, ∴CE=AF=4. ∴D2B=EF=2. ∵BD2∥AC, ∴∠D2BH=∠BCA. ∵∠BCA=∠CAM, ∴∠D2BH=∠CAM. 又∵∠M=∠D2HB, ∴BHD2∽△AMC. ∴

∵BD2=2, ∴BH=,HD2=, ∴D2(

).

).

综上所述,点D的坐标为(﹣2,﹣6)或D2(

【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用,解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定、等腰梯形的性质,求得BD2=2是解题的关键.

25.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=14,tanA=,点D是边AC上一点,AD=8,点E是边AB上一点,以点E为圆心,EA为半径作圆,经过点D,点F是边AC上一动点(点F不与A、C重合),作FG⊥EF,交射线BC于点G.

(1)用直尺圆规作出圆心E,并求圆E的半径长(保留作图痕迹);

(2)当点G的边BC上时,设AF=x,CG=y,求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域; (3)联结EG,当△EFG与△FCG相似时,推理判断以点G为圆心、CG为半径的圆G与圆E可能产生的各种位置关系.

【考点】相似形综合题;全等三角形的判定与性质;勾股定理;圆与圆的位置关系;锐角三角函数的定义.

【专题】综合题.

【分析】(1)由于ED=EA,因此点E在线段AD的垂直平分线上,因而线段AD的垂直平分线与线段AB的交点即为圆心E(如图1),然后只需解Rt△EHA就可解决问题;

(2)如图2,易证△GCF∽△FHE,然后运用相似三角形的性质就可解决问题;

(3)由于点G在射线BC上,故需分点G在线段BC上(如图2、图3),点G在线段BC的延长线上(如图4),然后只需求出CG和GE就可解决问题.

【解答】解:(1)作线段AD的垂直平分线,交AB于E,交AC于H,如图1,

点E即为所求作.

在Rt△EHA中,AH=AD=4,tanA=, ∴EH=AH?tanA=4×=3,AE=∴圆E的半径长为5;

=5.