23．如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，BD平分∠ABC，过点D作DF∥AB分别交AC、BC于点E、F． （1）求证：四边形ABFD是菱形； （2）设AC⊥AB，求证：AC?OE=AB?EF．

【考点】相似三角形的判定与性质；菱形的判定与性质． 【专题】证明题．

【分析】（1）根据已知条件得到四边形ABFD是平行四边形，由角平分线的定义得到∠ABD=∠DBC，根据平行线的性质得到∠ADB=∠CBD，等量代换得到∠ADB=∠ABD，证得AB=AD，即可得到结论； （2）连接AF，OF，根据菱形的性质得到BD垂直平分AF，线段垂直平分线的性质得到AO=OF，由等腰三角形的性质得到∠ABD=∠FAC，推出△ABC∽△EOF，根据相似三角形的性质得到结论． 【解答】证明：（1）∵AD∥BC，DF∥AB， ∴四边形ABFD是平行四边形， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC， ∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠CBD， ∴∠ADB=∠ABD， ∴AB=AD，

∴四边形ABFD是菱形；

（2）连接AF，OF， ∵AC⊥AB，∴∠BAC=90°， ∴∠CEF=∠BAC=90°， ∵四边形ABFD是菱形， ∴BD垂直平分AF， ∴AO=OF， ∴∠ABD=∠FAC，

∴∠FOE=2∠FCA=2∠ABD=∠ABC， ∴△ABC∽△EOF， ∴

，

∴AC?OE=AB?EF．

【点评】本题考查了菱形的判定和性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

24．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=

+bx+c的图象与y轴交于点A，与双曲线y=有

一个公共点B，它的横坐标为4，过点B作直线l∥x轴，与该二次函数图象交于另一个点C，直线AC在y轴上的截距是﹣6． （1）求二次函数的解析式； （2）求直线AC的表达式；

（3）平面内是否存在点D，使A、B、C、D为顶点的四边形是等腰梯形？如果存在，求出点D坐标；如果不存在，说明理由．

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）先求得点A与点B的坐标，然后依据待定系数法可求得抛物线的解析式；

（2）先求得抛物线的对称轴为x=﹣1，依据点B与点C关于x=﹣1对称，可求得点C的坐标，然后依据待定系数法可求得直线AC的解析式；

（3）①当CD∥AB时，AC=BC，故点D不存在；②如图1所示：当AD∥BC时，AB＜AC，过点A作BC平行线l，以C为圆心，AB为半径作弧，交l与点D1点，依据点A与D1关于x=﹣1对称可求得点D1的坐标；③如图2所示：BD∥AC时，过点C作CM⊥x轴，过点A作AM⊥y轴，过点B作BF⊥AC，D2E⊥AC．先依据AAS证明△AMC≌△CBF，从而可求得AF=CE=4，于是得到D2B=2，然后再证明BHD2∽△AMC，从而可求得BH=，HD2=，于是可求得点D2的坐标． 【解答】解：（1）∵将x=4代入y=得：y=2， ∴B（4，2）．

∵点A在y轴上，且直线AC在y轴上的截距是﹣6， ∴A（0，﹣6）．

∵将B（4，2）、A（0，﹣6）代入抛物线的解析式得：

，解得：

，

∴抛物线的解析式为y=+﹣6．

（2）∵抛物线的对称轴为x=﹣=﹣1．

∴点B关于x=﹣1的对称点C的坐标为（﹣6，2）． 设直线AC的解析式为y=kx+b．

∵将点A（0，﹣6）、C（﹣6，2）代入得：∴直线AC的解析式为y=

﹣6．

，解得：k=﹣，b=﹣6，

（3）①∵B（4，2）C（﹣6，2）， ∴BC=10．

∵A（0，﹣6）、C（﹣6，2）， ∴AC=∴AC=BC．

∴当CD∥AB时，不存在点D使得四边形A、B、C、D为顶点的四边形是等腰梯形． ②如图1所示：

=10．

当AD∥BC时，AB＜AC，过点A作BC平行线l，以C为圆心，AB为半径作弧，交l与点D1点，A与D1关于x=﹣1对称， ∴D1（﹣2，﹣6）．

③如图2所示：BD∥AC时，过点C作CM⊥x轴，过点A作AM⊥y轴，过点B作BF⊥AC，D2E⊥AC．

∵CB∥AM， ∴∠BCA=∠CAM． 在△AMC和△CBF中，

，

∴△AMC≌△CBF． ∴CF=AM=6． ∴AF=4．

∵梯形ABD2C是等腰梯形， ∴CE=AF=4． ∴D2B=EF=2． ∵BD2∥AC， ∴∠D2BH=∠BCA． ∵∠BCA=∠CAM， ∴∠D2BH=∠CAM． 又∵∠M=∠D2HB， ∴BHD2∽△AMC． ∴

．

∵BD2=2， ∴BH=，HD2=， ∴D2（

，

）．

，

）．

综上所述，点D的坐标为（﹣2，﹣6）或D2（

【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定、等腰梯形的性质，求得BD2=2是解题的关键．

25．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=14，tanA=，点D是边AC上一点，AD=8，点E是边AB上一点，以点E为圆心，EA为半径作圆，经过点D，点F是边AC上一动点（点F不与A、C重合），作FG⊥EF，交射线BC于点G．

（1）用直尺圆规作出圆心E，并求圆E的半径长（保留作图痕迹）；

（2）当点G的边BC上时，设AF=x，CG=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域； （3）联结EG，当△EFG与△FCG相似时，推理判断以点G为圆心、CG为半径的圆G与圆E可能产生的各种位置关系．

【考点】相似形综合题；全等三角形的判定与性质；勾股定理；圆与圆的位置关系；锐角三角函数的定义．

【专题】综合题．

【分析】（1）由于ED=EA，因此点E在线段AD的垂直平分线上，因而线段AD的垂直平分线与线段AB的交点即为圆心E（如图1），然后只需解Rt△EHA就可解决问题；

（2）如图2，易证△GCF∽△FHE，然后运用相似三角形的性质就可解决问题；

（3）由于点G在射线BC上，故需分点G在线段BC上（如图2、图3），点G在线段BC的延长线上（如图4），然后只需求出CG和GE就可解决问题．

【解答】解：（1）作线段AD的垂直平分线，交AB于E，交AC于H，如图1，

点E即为所求作．

在Rt△EHA中，AH=AD=4，tanA=， ∴EH=AH?tanA=4×=3，AE=∴圆E的半径长为5；

=5．