八年级下册好题难题精选

他的数学专著，其中有一文《积求勾股法》，它对“三边长为3、4、5的整数倍的直角三角形，已知面积求边长”这一问题提出了解法：“若所设者为积数（面积），以积率六除之，平方开之得数，再以勾股弦各率乘之，即得勾股弦之数”．用现在的数学语言表述是：“若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍，?设其面积为S，则第一步：＝m；第二步：m=k；第三步：分别用3、4、5乘以k，得三边长”．

（1）当面积S等于150时，请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角

形的三边长；

（2）你能证明“积求勾股法”的正确性吗？请写出证明过程．

解：（1）当S=150时，k=m=S6S150??25=5， 66所以三边长分别为：3×5=15，4×5=20，5×5=25；

（2）证明：三边为3、4、5的整数倍， 设为k倍，则三边为3k，4k，5k，?

而三角形为直角三角形且3k、4k为直角边． 其面积S=

12

（3k）·（4k）=6k， 2所以k=

2

SS，k=（取正值）， 66即将面积除以6，然后开方，即可得到倍数．

二：一张等腰三角形纸片，底边长l5cm，底边上的高长22．5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是( )

A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张

答案：C

三：如图，甲、乙两楼相距20米，甲楼高20米，小明站在距甲楼10米的A处目测得点A 与甲、乙楼顶B、C刚好在同一直线上，且A与B相距的身高忽略不计，则乙楼的高度是 米．

6

50米，若小明3八年级下册好题难题精选

C 乙 ？A B 甲 202010

答案：40米

四：恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．著名的恩施大峡谷(A)和世界级自然保护区星斗山(B)位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB?50km，A、B到直线X的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP与直线X垂直，垂足为P），P到A、B的距离之和S1?PA?PB，图（2）是方案二的示意图（点A关于直线X的对称点是A?，连接BA?交直线X于点P），P到A、B的距离之和S2?PA?PB． （1）求S1、S2，并比较它们的大小； （2）请你说明S2?PA?PB的值为最小；

（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km，请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．

Y B A P 图（1）

X P 图（2） B A B Q A X O P 图（3）

X A?

解:⑴图10（1）中过B作BC⊥AP,垂足为C,则PC＝40,又AP＝10,

∴AC＝30

在Rt△ABC 中，AB＝50 AC＝30 ∴BC＝40

∴ BP＝CP2?BC2?402 S1＝402?10

⑵图10（2）中，过B作BC⊥AA′垂足为C，则A′C＝50， 又BC＝40

∴BA'＝402?502?1041

7

八年级下册好题难题精选

由轴对称知：PA＝PA' ∴S2＝BA'＝1041 ∴S1﹥S2

(2)如 图10（2），在公路上任找一点M,连接MA,MB,MA'，由轴对称知MA＝MA' ∴MB+MA＝MB+MA'﹥A'B ∴S2＝BA'为最小

（3）过A作关于X轴的对称点A', 过B作关于Y轴的对称点B'， Y连接A'B',交X轴于点P, 交Y轴于点Q,则P,Q即为所求

B过A'、 B'分别作X轴、Y轴的平行线交于点G,

B'A'B'＝1002?502?505

∴所求四边形的周长为50?505

QPAXA'五：已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE?AC． （1）求证：BG?FG；

（2）若AD?DC?2，求AB的长．

解：（1）证明：Q?ABC?90°，DE⊥AC于点F，

??ABC??AFE．

QAC?AE，?EAF??CAB， A ?△ABC≌△AFE ?AB?AF． 连接AG，

AG＝AG,AB＝AF，

?Rt△ABG≌Rt△AFG． ?BG?FG．

B

（2）解：∵AD＝DC,DF⊥AC，

A

F B E D G

C D F

C

G

11?AF?AC?AE．

22??E?30°．

??FAD??E?30°， ?AF?3． ?AB?AF?3．

E

四边形：

一：如图，△ACD、△ABE、△BCF均为直线BC同侧的等边三角形.

8

八年级下册好题难题精选

(1) 当AB≠AC时，证明四边形ADFE为平行四边形；

(2) 当AB = AC时，顺次连结A、D、F、E四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件.

解：(1) ∵△ABE、△BCF为等边三角形，

∴AB = BE = AE，BC = CF = FB，∠ABE = ∠CBF = 60°. ∴∠FBE = ∠CBA. ∴△FBE ≌△CBA. B ∴EF = AC.

又∵△ADC为等边三角形， ∴CD = AD = AC. ∴EF = AD. 同理可得AE = DF. ∴四边形AEFD是平行四边形.

(2) 构成的图形有两类，一类是菱形，一类是线段.

当图形为菱形时，∠ BAC≠60°（或A与F不重合、△ABC不为正三角形） 当图形为线段时，∠BAC = 60°（或A与F重合、△ABC为正三角形）.

E

D

A F

C

二：如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连

结DE并延长至点F，使EF=AE，连结AF、BE和CF。

（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明。 （2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由。 （3）若AB=6，BD=2DC，求四边形ABEF的面积。

解：（1）（选证一）VBDE?VFEC

QVABC是等边三角形，?BC=AC,?ACB=600QCD?CE,?BD?AE,VEDC是等边三角形 ?DE?EC,?CDE??DEC?600??BDE??FEC?1200QEF?AE,?BD?FE,?VBDE?VFEC（选证二）VBCE?VFDC

证明：QVABC是等边三角形,?BC?AC,?ACB?60

09

八年级下册好题难题精选

QCD?CE,?VEDC是等边三角形??BCE??FDC?600,DE?CE

QEF?AE,?EF?DE?AE?CE,?FD?AC?BC?VBCE?VFDC（选证三）VABE?VACF

证明：QVABC是等边三角形,?AB?AC,?ACB??BAC?60

0QCD?CE,?VEDC是等边三角形??AEF??CED=600QEF?AE,?VAEF是等边三角形 ?AE?AF,?EAF?600?VABE?VACF（2）四边形ABDF是平行四边形。

由（1）知，VABC、VEDC、VAEF都是等边三角形。

??CDE??ABC??EFA?600?ABPDF,BDPAF,?四边形ABDF是平行四边形（3）由（2）知，）四边形ABDF是平行四边形。

?EFPAB,EF?AB,?四边形ABEF是梯形过E作EG?AB于G，则EG?AEsin600??S四边形ABEF

23 BCg?233211?EGg?AB?EF???23??6?4??10322三：如图，在△ABC中，∠A、∠B的平分线交于点D，DE∥AC交BC于点E，DF∥BC交AC于点F．

（1）点D是△ABC的________心； （2）求证：四边形DECF为菱形．

解：(1) 内.

(2) 证法一：连接CD， ∵ DE∥AC，DF∥BC，

∴ 四边形DECF为平行四边形， 又∵ 点D是△ABC的内心，

∴ CD平分∠ACB，即∠FCD＝∠ECD， 又∠FDC＝∠ECD，∴ ∠FCD＝∠FDC ∴ FC＝FD，

∴ □DECF为菱形． 证法二：

过D分别作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H，DI⊥AC于I．

10

图7