复变函数与积分变换概念及公式

常用积分公式

1.

n?1?2?i,dz?，C是以a为中心，半径为?的圆周z?a??,且C为逆时针方向 ?C(z?a)n??0,n?1(n为整数)2.柯西积分定理：

?Cf(z)dz?0，(f(z)在区域D内解析，C为单连通区域D内任意一条简单闭曲线，或者为多连通区域D的边界)

f(?)2?if(n)(z)(f(z)在简单闭曲线C所围成的区域D内解析，在D?D?C上连续)?C(??z)n?1d??n!(z?D,n?1,2,...)，3.柯西高阶导数公式：

f(?)特别的，n?0时，即为柯西积分公式?C(??z)d??2?if(z)4.

???0sinx?dx? 5. x2???0e?x2dx??2

6.留数定理：

?Cf(z)dz?2?i?Res(f(z),zk),(f(z)在区域D内出去有限个孤立奇点z1,z2,...,zn外解析，k?1n

C是D内包含这些奇点在其内部的一条简单闭曲线)

常用不等式

1.z1?z2?...?zn?|z1|?|z2|?...?|zn| 2.

?Cf(z)dz?Ml,(在曲线C上，f(z)?M,l为曲线C的长度)

(n)3.柯西不等式：f

(a)?n!M,(n?1,2,...),(函数f(z)在圆z?a?R内解析，且f(z)?M) nR常用等式

1.(z1z)?1z2z2z1|z|?1 z2|z2|z???z?????z??,2.无穷的运算发则：z?0???z?z????,z??0,??;?z

z??;0???,??0,?0,无意义?0ni?3.De Movie公式：(cos??isin?)?cosn??isinn?,欧拉公式：re?r(cos??isin?)

?u?v?u?v函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在区域D内有定义，?,???x?y?y?x4.柯西-黎曼方程：

?u?v?u?v并因此有f?(z)??i??i?x?x?y?y5.对数函数的主值：Lnz=ln|z|+iargz+2kπi=lnz+2kπi（k为任意正整数，???argz??）, lnz =ln|z|+iargz即为主值

?2g?2g6.拉普拉斯方程：2??0,g(x,y)在区域D内满足拉普拉斯方程，称g(x,y)为区域D内的调和函数 2?x?y2n??znz2n?1nnz|z|??:e??,sinz??(?1),cosz??(?1);(2n?1)!(2n)!n?0n!n?0n?0z?7.常用函数在z=0处泰勒展式：

|z|?1:(1?z)???n?0??(??1)...(??n?1)n!

zn8.

?Res(f(z),zk?1nk)?Res(f(z),?)?0(函数f(z)在扩充复平面上除去z1,z2,..,zn,?外解析)

常用定理

1.刘维尔定理：有界整函数（在有限复平面上解析的函数）一定恒等于常数

2.解析函数的唯一性定理：设函数f(z)与g(z)在区域D内解析，{zn}是D内彼此不同的点列，且{zn}在D内有聚点。

若f(zn)=g(zn)(n=1,2,…),则在D内，f(z)?g(z)

3.最大模定理：若函数f(z)在区域D内解析，并且不为常数，则|f(z)|在D内取不到最大值