两点间直线段最短，利用勾股定理，求得结果. 详解：根据圆柱的三视图以及其本身的特征，

可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，

所以所求的最短路径的长度为

，故选B.

点睛：该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题，在解题的过程中，需要明确两个点在几何体上所处的位置，再利用平面上两点间直线段最短，所以处理方法就是将面切开平铺，利用平面图形的相关特征求得结果.

8. 设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D

【解析】分析：首先根据题中的条件，利用点斜式写出直线的方程，涉及到直线与抛物线相交，联立方程组，消元化简，求得两点公式，求得

，再利用所给的抛物线的方程，写出其焦点坐标，之后应用向量坐标，最后应用向量数量积坐标公式求得结果.

，

=

详解：根据题意，过点（–2，0）且斜率为的直线方程为

与抛物线方程联立解得所以从而可以求得

，又

， ，

，消元整理得：，

，故选D.

点睛：该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程组，消元化简求解，从而确定出于抛物线的方程求得

，之后借助

，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求

得结果，也可以不求点M、N的坐标，应用韦达定理得到结果. 9. 已知函数

．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是

A. [–1，0） B. [0，+∞） C. [–1，+∞） D. [1，+∞） 【答案】C

【解析】分析：首先根据g（x）存在2个零点，得到方程

有两个解，将其转化为

有

5

两个解，即直线与曲线有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数，并将其上下移动，从图中可以发现，当

时，满足

的图像（将与曲线

去掉），再画出直线

有两个交点，从而求得结果. 详解：画出函数再画出直线

的图像，

在y轴右侧的去掉，

，之后上下移动，

可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，

并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点， 即方程也就是函数此时满足

有两个解， 有两个零点， ，即

，故选C.

点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.

10. 下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为II，其余部分记为III．在整个图形中随机取一点，此点取自I，II，III的概率分别记为p1，p2，p3，则

A. p1=p2 B. p1=p3 C. p2=p3 D. p1=p2+p3 【答案】A

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详解：设从而可以求得黑色部分的面积为其余部分的面积为

的面积为

，则有

，

，

，所以有

，

，

根据面积型几何概型的概率公式，可以得到，故选A.

点睛：该题考查的是面积型几何概型的有关问题，题中需要解决的是概率的大小，根据面积型几何概型的概率公式，将比较概率的大小问题转化为比较区域的面积的大小，利用相关图形的面积公式求得结果.

11. 已知双曲线C：分别为M、N.若A. B. 3 C. 【答案】B

【解析】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到根据直角三角形的条件，可以确定直线得的结果是相等的，从而设其倾斜角为求得

的倾斜角为

或

，

，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点

OMN为直角三角形，则|MN|=

D. 4

，根据相关图形的对称性，得知两种情况求

，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，

的值.

，

，利用两点间距离同时求得

详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为从而得到

，所以直线

，且右焦点为

或

，

的倾斜角为

， ， 联立，

根据双曲线的对称性，设其倾斜角为可以得出直线

的方程为

和，

分别与两条渐近线求得

所以，故选B.

7

点睛：该题考查的是有关线段长度的问题，在解题的过程中，需要先确定哪两个点之间的距离，再分析点是怎么来的，从而得到是直线的交点，这样需要先求直线的方程，利用双曲线的方程，可以确定其渐近线方程，利用直角三角形的条件得到直线

的斜率，结合过右焦点的条件，利用点斜式方程写出直线的方程，

之后联立求得对应点的坐标，之后应用两点间距离公式求得结果.

12. 已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为 A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】分析：首先利用正方体的棱是3组每组有互相平行的4条棱，所以与12条棱所成角相等，只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正六边形，且边长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果. 详解：根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的， 所以在正方体平面所以平面同理平面

与线

中，

所成的角是相等的，

与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的， 也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，

与

中间的，

要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面且过棱的中点的正六边形，且边长为， 所以其面积为

，故选A.

点睛：该题考查的是有关平面被正方体所截得的截面多边形的面积问题，首要任务是需要先确定截面的位置，之后需要从题的条件中找寻相关的字眼，从而得到其为过六条棱的中点的正六边形，利用六边形的面积的求法，应用相关的公式求得结果.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13. 若，满足约束条件【答案】6

【解析】分析：首先根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，再将目标函数化成斜截式

，

，则

的最大值为_____________．

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