合计

2

120 1614666.668

表格中(x－426.67)f的计算方法： 方法一：将表格复制到Excel表中，点击第三列的顶行单元格后，在输入栏中输入：=(a3－426.67)* (a3－426.67)*b3，回车，得到该行的计算结果；

点选结果所在单元格，并将鼠标移动到该单元格的右下方，当鼠标变成黑“＋”字时，压下左键并拉动鼠标到该列最后一组数据对应的单元格处放开，则各组数据的(x－426.67)f计算完毕；

于是得标准差：(见Excel练习题2.11)

s =22

?(x?i?x)ff?1=1614666.668120?1=116.48（万元）。

点击第三列的合计单元格后，点击菜单栏中的“∑”号，回车，即获得第三列数据的和。 方法二：将各组组中值x复制到Excel的A列中，并按各组次数f在同列中复制，使该

列中共有f个x，120个数据生成后，点选A列的最末空格，再点击菜单栏中“∑”符号右边的小三角“▼”，选择“其它函数”→选择函数“STDEV” →“确定”，在出现的函数参数窗口中的Number1右边的空栏中输入：A1:A30，→“确定”，即在A列最末空格中出现数值：116.4845，即为这120个数据的标准差。(见Excel练习题2.11)

于是得标准差：

s =116.4845（万元）。

●12.为研究少年儿童的成长发育状况，某研究所的一位调查人员在某城市抽取100名7～17岁的少年儿童作为样本，另一位调查人员则抽取了1000名7~17岁的少年儿童作为样本。请回答下面的问题，并解释其原因。

（1）哪一位调查研究人员在其所抽取的样本中得到的少年儿童的平均身高较大？或者

这两组样本的平均身高相同？

（2）哪一位调查研究人员在其所抽取的样本中得到的少年儿童身高的标准差较大？或

者这两组样本的标准差相同？

（3）哪一位调查研究人员有可能得到这1100名少年儿童的最高者或最低者？或者对

两位调查研究人员来说，这种机会是相同的？

解：（1）（2）两位调查人员所得到的平均身高和标准差应该差不多相同，因为均值和标准差的大小基本上不受样本大小的影响。

（3）具有较大样本的调查人员有更大的机会取到最高或最低者，因为样本越大，变化的范围就可能越大。

●13.一项关于大学生体重状况的研究发现，男生的平均体重为60公斤，标准差为5公斤；女生的平均体重为50公斤，标准差为5公斤。请回答下面的问题： （1）是男生的体重差异大还是女生的体重差异大？为什么？ （2）以磅为单位（1公斤＝2.2磅），求体重的平均数和标准差。

（3）粗略地估计一下，男生中有百分之几的人体重在55公斤到65公斤之间？ （4）粗略地估计一下，女生中有百分之几的人体重在40公斤到60公斤之间？ 解：（1）由于两组的平均体重不相等，应通过比较离散系数确定体重差异较大的组：

因为女生的离散系数为 V=

sx＝

550＝0.1

男生体重的离散系数为 V=

sx＝

560＝0.08

11

对比可知女生的体重差异较大。

（2） 男生：x=

60公斤2.2公斤50公斤2.2公斤＝27.27（磅），s =

5公斤2.2公斤5公斤=2.27（磅）；

女生：x= （3）68%；

（4）95%。

=22.73（磅），s =

2.2公斤=2.27（磅）；

● 14.对10名成年人和10名幼儿的身高（厘米）进行抽样调查，结果如下：

成年组 166 169 172 177 180 170 172 174 168 173 幼儿组 68 69 68 70 71 73 72 73 74 75

（1）要比较成年组和幼儿组的身高差异，你会采用什么样的指标测度值？为什么？

（2）比较分析哪一组的身高差异大？ 解：（1）应采用离散系数，因为成年人和幼儿的身高处于不同的水平，采用标准差比较不合适。离散系数消除了不同组数据水平高低的影响，采用离散系数就较为合理。

（2）利用Excel进行计算，得成年组身高的平均数为172.1，标准差为4.202，从而得：

成年组身高的离散系数：vs?4.2172.12.49771.3?0.024；

又得幼儿组身高的平均数为71.3，标准差为2.497，从而得：

幼儿组身高的离散系数：vs??0.035；

由于幼儿组身高的离散系数大于成年组身高的离散系数，说明幼儿组身高的离散程度相对较大。

15.一种产品需要人工组装，现有三种可供选择的组装方法。为检验哪种方法更好，随机抽取15个工人，让他们分别用三种方法组装。下面是15个工人分别用三种方法在相同的时间内组装的产品数量（单位：个）：

方法A 方法B 方法C

164 167 168 165 170 165 164 168 164 162 163 166 167 166 165

129 130 129 130 131 130 129 127 128 128 127 128 128 125 132

125 126 126 127 126 128 127 126 127 127 125 126 116 126 125

（1） 你准备采用什么方法来评价组装方法的优劣？

12

（2） 如果让你选择一种方法，你会作出怎样的选择？试说明理由。 解：(1)下表给计算出这三种组装方法的一些主要描述统计量：

方法A 平均 中位数 众数 标准偏差 极差 最小值 最大值 165.6 165 164 2.13 8 162 170 方法B 平均 中位数 众数 标准偏差 极差 最小值 最大值 128.73 129 128 1.75 7 125 132 方法C 平均 中位数 众数 标准偏差 极差 最小值 最大值 125.53 126 126 2.77 12 116 128 评价优劣应根据离散系数，据上得： 方法A的离散系数VA=方法B的离散系数VB=方法C的离散系数VC=

2.13165.61.75=0.0129， =0.0136， =0.0221；

128.732.77125.53 对比可见，方法A的离散系数最低，说明方法A最优。

(2)我会选择方法A，因为方法A的平均产量最高而离散系数最低，说明方法A的产量高且稳定，有推广意义。

16.在金融证券领域，一项投资的的预期收益率的变化通常用该项投资的风险来衡量。预期收益率的变化越小，投资风险越低，预期收益率的变化越大，投资风险就越高。下面的两个直方图，分别反映了200种商业类股票和200种高科技类股票的收益率分布。在股票市场上，高收益率往往伴随着高风险。但投资于哪类股票，往往与投资者的类型有一定关系。

（1）你认为该用什么样的统计测度值来反映投资的风险？

（2）如果选择风险小的股票进行投资，应该选择商业类股票还是高科技类股票？

（3）如果你进行股票投资，你会选择商业类股票还是高科技类股票？

-30 0 30 60 -30 0 30 60 收 益 率 收 益 率

(a)商业类股票 (b) 高科技类股票

解：（1）方差或标准差；（2）商业类股票；（3）（略）。

17.下图给出了2000年美国人口年龄的金字塔，其绘制方法及其数字说明与【例2.10】相同，试对该图反映的人口、政治、社会、经济状况进行分析。

50 50 频数

频数

25 25 0 0 13

2000年美国人口年龄结构金字塔95-99(01-05)90-94(06-10)85-89(11-15)80-84(16-20)75-79(21-25)70-74(26-30)65-69(31-35)60-64(36-40)55-59(41-45)50-54(46-50)45-49(51-55)40-44(56-60)35-39(61-65)30-34(66-70)25-29(71-75)20-24(76-80)15-19(81-85)10-14(86-90)5-9(91-95)0-4(96-00)-20-10010女男年龄20

人数（百万）第3章 概率与概率分布——练习题(全免)

1 .某技术小组有12人，他们的性别和职称如下，现要产生一名幸运者。试求这位幸运者分别是以下几种可能的概率：（1）女性；（2）工程师；（3）女工程师，（4）女性或工程师。并说明几个计算结果之间有何关系？

序号 性别 1 男 2 男 3 男 4 女 5 男 6 男 7 女 8 男 9 女 10 女 11 男 12 男 职称 工程师 技术员 技术员 技术员 技术员 工程师 工程师 技术员 技术员 工程师 技术员 技术员 解:设A＝女性，B＝工程师，AB＝女工程师，A+B＝女性或工程师 （1）P(A)＝4/12＝1/3 （2）P(B)＝4/12＝1/3 （3）P(AB)＝2/12＝1/6

（4）P(A+B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝1/3＋1/3－1/6＝1/2

2. 某种零件加工必须依次经过三道工序，从已往大量的生产记录得知，第一、二、三道工序的次品率分别为0.2，0.1，0.1，并且每道工序是否产生次品与其它工序无关。试求这种零件的次品率。

解:求这种零件的次品率，等于计算“任取一个零件为次品”（记为A）的概率P(A)。 考虑逆事件A?“任取一个零件为正品”，表示通过三道工序都合格。据题意，有：

P(A)?(1?0.2)(1?0.1)(1?0.1)?0.648

14

于是 P(A)?1?P(A)?1?0.648?0.352

3. 已知参加某项考试的全部人员合格的占80％，在合格人员中成绩优秀只占15％。试求任一参考人员成绩优秀的概率。

解:设A表示“合格”，B表示“优秀”。由于B＝AB，于是

P(B)＝P(A)P(B|A)＝0.8×0.15＝0.12

4. 某项飞碟射击比赛规定一个碟靶有两次命中机会（即允许在第一次脱靶后进行第二次射击）。某射击选手第一发命中的可能性是80％，第二发命中的可能性为50％。求该选手两发都脱靶的概率。

解:设A＝第1发命中。B＝命中碟靶。求命中概率是一个全概率的计算问题。再利用对立事件的概率即可求得脱靶的概率。

P(B)＝P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A) ＝0.8×1＋0.2×0.5＝0.9 脱靶的概率＝1－0.9＝0.1

或（解法二）：P(脱靶)＝P(第1次脱靶)×P(第2次脱靶)＝0.2×0.5＝0.1

5.已知某地区男子寿命超过55岁的概率为84％，超过70岁以上的概率为63%。试求任一刚过55岁生日的男子将会活到70岁以上的概率为多少？ 解: 设A＝活到55岁，B＝活到70岁。所求概率为：

P(B|A)＝P(AB)P(A)＝P(B)P(A)＝0.630.84＝0.75

6.某企业决策人考虑是否采用一种新的生产管理流程。据对同行的调查得知，采用新生产管理流程后产品优质率达95％的占四成，优质率维持在原来水平（即80%）的占六成。该企业利用新的生产管理流程进行一次试验，所生产5件产品全部达到优质。问该企业决策者会倾向于如何决策？

解:这是一个计算后验概率的问题。

设A＝优质率达95％，A＝优质率为80％，B＝试验所生产的5件全部优质。 P(A)＝0.4，P(A)＝0.6，P(B|A)=0.955， P(B|A)=0.85，所求概率为：

P(A|B)＝P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)＝0.309510.50612＝0.6115

决策者会倾向于采用新的生产管理流程。

7. 某公司从甲、乙、丙三个企业采购了同一种产品，采购数量分别占总采购量的25％、30％和45％。这三个企业产品的次品率分别为4％、5％、3％。如果从这些产品中随机抽出一件，试问：（1）抽出次品的概率是多少？（2）若发现抽出的产品是次品，问该产品来自丙厂的概率是多少？

解:令A1、A2、A3分别代表从甲、乙、丙企业采购产品，B表示次品。由题意得：P(A1)＝0.25，P(A2)＝0.30， P(A3)＝0.45；P(B|A1)＝0.04，P(B|A2)＝0.05，P(B|A3)＝0.03；因此，所求概率分别为：

（1）P(B)＝P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)?P(A3)P(B|A3)

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