398-2=396；396÷12=33；8+9+7+6+3+9+2+1+3+4+7+1=60；60×33+10=1990

二、判断题

1．两个连续整数中必有一个奇数一个偶数。 （ √ ） 2．偶数的个位一定是0、2、4、6或8。 （ √ ） 3．奇数的个位一定是1、3、5、7或9。 （ √ ） 4．所有的正偶数均为合数。 （ × ） 5．奇数与奇数的和或差是偶数。 （ √ ） 6．偶数与奇数的和或差是奇数。 （ √ ） 7．奇数与奇数的积是奇数。 （ √ ） 8．奇数与偶数的积是偶数。 （ √ ） 9．任何偶数的平方都能被4整除。 （ √ ） 10．任何奇数的平方被8除都余1。 （ √ ）

11．相邻偶数最大公约数为2，最小公倍数为它们乘积的一半。（ √ ） 12．任何一个自然数，不是质数就是合数。 （ × ） 13．互质的两个数可以都不是质数。 （ √ ）

14．如果两个数的积是它们的最小公倍数，这两个数一定是互质数。（ √ ）

三、计算题

1．能不能将（1）505；（2）1010写成10个连续自然数之和？如果能，把它写出来；如果不能，说明理由。

解题过程：S=n+（n+1）+（n+2）+（n+3）+（n+4）+（n+5）+（n+6）+（n+7）+（n+8）+（n+9）

=10n+45（一定是奇数）

（1）505=45+46+47+48+49+50+51+52+53+54 （2）1010是偶数，不能写成10个连续自然数之和

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2．（1）从1到3998这3998个自然数中，有多少个能被4整除？

（2）从1到3998这3998个自然数中，有多少个数的各位数字之和能被4整除？ 解题过程：（1）3998÷4=999（个）……2

（2）考虑个位，选法有10种;十位，选法有10种;百位选法有10种;选定之后个

位、十位、百位数字之和除以4的余数有3种情况，余0、余1、余2、余3，对应这四种在千位上刚好有一种与之对应，共有1000个；1000-1=999（个）

3．请将1，2，3，…，99，100这一百个自然数中既是奇数又是合数的自然数排成一行，使每两个相邻的数都不互质（若一行写不下，可移至第二行接着写，若第二行仍写不下，可移至第三行接着写）。

解题过程：9，15，21，27，33，39，45，51，57，63，69，75，81，87，93，99

15，25，35，55，65，85，95 21，35，49，77，91 33，55，77，99

25，35，55，65，85，95；15，9，21，27，33，39，45，51，57，63，69，75，81，87，93，99；77，91，49

4．一个自然数除以8得到的商加上这个数除以9的余数，其和是13。求所有满足条件的自然数。

解题过程：设这个数为n，除以9的余数r≤8，所以除以8得到的商q≥13-8=5，且q≤13

n=8q+k=9p+r==>k=9p+r-8p=9p+r-8×（13-r）=9×（p+r）-104=4 q=5，n=8×5+4=44 q=6，n=8×6+4=52 q=7，n=8×7+4=60 q=8，n=8×8+4=68 q=9，n=8×9+4=76 q=10，n=8×10+4=84 q=11，n=8×11+4=92

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q=12，n=8×12+4=100 q=13，n=8×13+4=108

5．有红、黄、蓝、绿四种颜色的卡片，每种颜色的卡片各有3张。相同颜色的卡片上写相同的自然数，不同颜色的卡片上写不同的自然数。老师把这12张卡片发给6名同学，每人得到两张颜色不同的卡片。然后老师让学生分别求出各自两张卡片上两个自然数的和。六名同学交上来的答案分别为：92、125、133、147、158、191。老师看完6名同学的答案后说，只有一名同学的答案错了。问：四种颜色卡片上所写各数中最小数是多少？

解题过程：设四张卡片上的数从小到大分别为A、B、C、D，则六位同学所计算的分别为A+B、

A+C、A+D、B+C、B+D、C+D这6个和数，且最小的两个依次为A+B、A+C，最大的两个依次为C+D、B+D。

（A+B）+（C+D）=（A+C）+（B+D）=（A+D）+（B+C）； 而92+191=283=125+158，133+147=280≠283；

所以，A+B=92，A+C=125，B+D=158，C+D=191；133、147中有一个不正确。 若147是正确的，则B+C=147，A+D=283-147=136。

C-B=（A+C）（-A+B）=125-92=33 ==> C=90，B=57，A=92-57=35，D=191-90=101 若133是正确的，则A+D=133，B+C=283-133=150。

C-B=（A+C）（-A+B）=125-92=33 ==> B=50，C=83，A=92-50=42，D=191-83=108 所以，四种颜色卡片上所写各数中最小数是35或42。

6．有三个数字能组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是2886，求所有这样的6个三位数中最小的三位数。（说明理由）

解题过程：设这三个数字从小到大分别为A、B、C，显然，它们互不相等且都不等于0。

则222×（A+B+C）=2886 ==> A+B+C=2886÷222=13

百位数为1是最小的，另两个数分别为3和9；所以最小的三位数为139

7．求小于1001且与1001互质的所有自然数的和。 解题过程：1001＝7×11×13

1＋2＋…＋1000=（1＋1000）×1000÷2＝500500

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7＋14＋21＋…＋994＝（7＋994）×142÷2＝71071 11＋22＋…＋990＝（11＋990）×90÷2＝45045 13＋26＋…＋988＝（13＋988）×76÷2＝38038 77+154+231+…+924=（77+924）×12÷2=6006 91+182+273+…+910=（91+910）×10÷2=5005 143+286+429+…+858=（143+858）×6÷2=3003

500500－71071－45045－38038+6006+5005+3003＝360360

8．三张卡片，在它们上面各写一个数字（如图）。从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排列起来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数。请你将其中的质数都写出来。

解题过程：2、3、13、23、31

9．一串数排成一行，它们的规律是这样的：头两个数都是1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和，也就是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，……。问：这串数的前100个数是（包括第100个数）有多少个偶数？ 解题过程：100÷3=33（个）……1

10．从小到大写出5个质数，使后面的数都比前面的数大12。 解题过程：5，17，29，41，53

11．有15位同学，每位同学都有编号，它们是1号到15号。1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除”，3号说“这个数能被3整除”，……，依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除，1号作了一一验证，只有编号相邻的两位同学说得不对，其余同学都对，问：（1）说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？（2）如果告诉你，1号写的数是五位数，请求出这个数。（写出解题过程）

解题过程：(1)如果15号说的不对，那么这个数不能被15整除，则它不能被3或者5之一整

除，即3号或者5号说的不对，这与相邻编号两位同学说的不对矛盾！故而这个数能被15整除，同时也能被3和5整除。同理，如果14号不对，那么它不能被2或者7整除，矛盾。即这个数能被14整除，也能被2和7整除；同理，如果12号不对，那么它不能被4整除，矛盾。即这个数能被4和12整除。那么这个数能

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被2*5=10整除。将2到15中能被整除这个数的数划去，发现编号相邻的只有8和9，即8号和9号说的不对。

(2)1号写的数为N。N能被2^2 * 3 * 5 * 7 * 11 * 13 = 60060整除，不能被2^3或者3^2整除；而又已知N是五位数，故N=60060。

12．一个自然数被8除余1，所得的商被8除也余1，再把第二次所得的商被8除后余7，最后得到一个商是a（见短除式（1））。又知这个自然数被17除余4，所得的商被17除余15，紧后得到一个商是a的2倍（见短除式（2）），求这个自然数。

解题过程：N=8×（8×（8a+7）+1）+1=17×（17×2a+15）+4==> a=3==> N=1993

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