小学数学奥林匹克竞赛真题集锦及解答 下载本文

398-2=396;396÷12=33;8+9+7+6+3+9+2+1+3+4+7+1=60;60×33+10=1990

二、判断题

1.两个连续整数中必有一个奇数一个偶数。 ( √ ) 2.偶数的个位一定是0、2、4、6或8。 ( √ ) 3.奇数的个位一定是1、3、5、7或9。 ( √ ) 4.所有的正偶数均为合数。 ( × ) 5.奇数与奇数的和或差是偶数。 ( √ ) 6.偶数与奇数的和或差是奇数。 ( √ ) 7.奇数与奇数的积是奇数。 ( √ ) 8.奇数与偶数的积是偶数。 ( √ ) 9.任何偶数的平方都能被4整除。 ( √ ) 10.任何奇数的平方被8除都余1。 ( √ )

11.相邻偶数最大公约数为2,最小公倍数为它们乘积的一半。( √ ) 12.任何一个自然数,不是质数就是合数。 ( × ) 13.互质的两个数可以都不是质数。 ( √ )

14.如果两个数的积是它们的最小公倍数,这两个数一定是互质数。( √ )

三、计算题

1.能不能将(1)505;(2)1010写成10个连续自然数之和?如果能,把它写出来;如果不能,说明理由。

解题过程:S=n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4)+(n+5)+(n+6)+(n+7)+(n+8)+(n+9)

=10n+45(一定是奇数)

(1)505=45+46+47+48+49+50+51+52+53+54 (2)1010是偶数,不能写成10个连续自然数之和

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2.(1)从1到3998这3998个自然数中,有多少个能被4整除?

(2)从1到3998这3998个自然数中,有多少个数的各位数字之和能被4整除? 解题过程:(1)3998÷4=999(个)……2

(2)考虑个位,选法有10种;十位,选法有10种;百位选法有10种;选定之后个

位、十位、百位数字之和除以4的余数有3种情况,余0、余1、余2、余3,对应这四种在千位上刚好有一种与之对应,共有1000个;1000-1=999(个)

3.请将1,2,3,…,99,100这一百个自然数中既是奇数又是合数的自然数排成一行,使每两个相邻的数都不互质(若一行写不下,可移至第二行接着写,若第二行仍写不下,可移至第三行接着写)。

解题过程:9,15,21,27,33,39,45,51,57,63,69,75,81,87,93,99

15,25,35,55,65,85,95 21,35,49,77,91 33,55,77,99

25,35,55,65,85,95;15,9,21,27,33,39,45,51,57,63,69,75,81,87,93,99;77,91,49

4.一个自然数除以8得到的商加上这个数除以9的余数,其和是13。求所有满足条件的自然数。

解题过程:设这个数为n,除以9的余数r≤8,所以除以8得到的商q≥13-8=5,且q≤13

n=8q+k=9p+r==>k=9p+r-8p=9p+r-8×(13-r)=9×(p+r)-104=4 q=5,n=8×5+4=44 q=6,n=8×6+4=52 q=7,n=8×7+4=60 q=8,n=8×8+4=68 q=9,n=8×9+4=76 q=10,n=8×10+4=84 q=11,n=8×11+4=92

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q=12,n=8×12+4=100 q=13,n=8×13+4=108

5.有红、黄、蓝、绿四种颜色的卡片,每种颜色的卡片各有3张。相同颜色的卡片上写相同的自然数,不同颜色的卡片上写不同的自然数。老师把这12张卡片发给6名同学,每人得到两张颜色不同的卡片。然后老师让学生分别求出各自两张卡片上两个自然数的和。六名同学交上来的答案分别为:92、125、133、147、158、191。老师看完6名同学的答案后说,只有一名同学的答案错了。问:四种颜色卡片上所写各数中最小数是多少?

解题过程:设四张卡片上的数从小到大分别为A、B、C、D,则六位同学所计算的分别为A+B、

A+C、A+D、B+C、B+D、C+D这6个和数,且最小的两个依次为A+B、A+C,最大的两个依次为C+D、B+D。

(A+B)+(C+D)=(A+C)+(B+D)=(A+D)+(B+C); 而92+191=283=125+158,133+147=280≠283;

所以,A+B=92,A+C=125,B+D=158,C+D=191;133、147中有一个不正确。 若147是正确的,则B+C=147,A+D=283-147=136。

C-B=(A+C)(-A+B)=125-92=33 ==> C=90,B=57,A=92-57=35,D=191-90=101 若133是正确的,则A+D=133,B+C=283-133=150。

C-B=(A+C)(-A+B)=125-92=33 ==> B=50,C=83,A=92-50=42,D=191-83=108 所以,四种颜色卡片上所写各数中最小数是35或42。

6.有三个数字能组成6个不同的三位数,这6个三位数的和是2886,求所有这样的6个三位数中最小的三位数。(说明理由)

解题过程:设这三个数字从小到大分别为A、B、C,显然,它们互不相等且都不等于0。

则222×(A+B+C)=2886 ==> A+B+C=2886÷222=13

百位数为1是最小的,另两个数分别为3和9;所以最小的三位数为139

7.求小于1001且与1001互质的所有自然数的和。 解题过程:1001=7×11×13

1+2+…+1000=(1+1000)×1000÷2=500500

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7+14+21+…+994=(7+994)×142÷2=71071 11+22+…+990=(11+990)×90÷2=45045 13+26+…+988=(13+988)×76÷2=38038 77+154+231+…+924=(77+924)×12÷2=6006 91+182+273+…+910=(91+910)×10÷2=5005 143+286+429+…+858=(143+858)×6÷2=3003

500500-71071-45045-38038+6006+5005+3003=360360

8.三张卡片,在它们上面各写一个数字(如图)。从中抽出一张、二张、三张,按任意次序排列起来,可以得到不同的一位数、二位数、三位数。请你将其中的质数都写出来。

解题过程:2、3、13、23、31

9.一串数排成一行,它们的规律是这样的:头两个数都是1,从第三个数开始,每一个数都是前两个数的和,也就是:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,……。问:这串数的前100个数是(包括第100个数)有多少个偶数? 解题过程:100÷3=33(个)……1

10.从小到大写出5个质数,使后面的数都比前面的数大12。 解题过程:5,17,29,41,53

11.有15位同学,每位同学都有编号,它们是1号到15号。1号同学写了一个自然数,2号说:“这个数能被2整除”,3号说“这个数能被3整除”,……,依次下去,每位同学都说,这个数能被他的编号数整除,1号作了一一验证,只有编号相邻的两位同学说得不对,其余同学都对,问:(1)说得不对的两位同学,他们的编号是哪两个连续自然数?(2)如果告诉你,1号写的数是五位数,请求出这个数。(写出解题过程)

解题过程:(1)如果15号说的不对,那么这个数不能被15整除,则它不能被3或者5之一整

除,即3号或者5号说的不对,这与相邻编号两位同学说的不对矛盾!故而这个数能被15整除,同时也能被3和5整除。同理,如果14号不对,那么它不能被2或者7整除,矛盾。即这个数能被14整除,也能被2和7整除;同理,如果12号不对,那么它不能被4整除,矛盾。即这个数能被4和12整除。那么这个数能

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被2*5=10整除。将2到15中能被整除这个数的数划去,发现编号相邻的只有8和9,即8号和9号说的不对。

(2)1号写的数为N。N能被2^2 * 3 * 5 * 7 * 11 * 13 = 60060整除,不能被2^3或者3^2整除;而又已知N是五位数,故N=60060。

12.一个自然数被8除余1,所得的商被8除也余1,再把第二次所得的商被8除后余7,最后得到一个商是a(见短除式(1))。又知这个自然数被17除余4,所得的商被17除余15,紧后得到一个商是a的2倍(见短除式(2)),求这个自然数。

解题过程:N=8×(8×(8a+7)+1)+1=17×(17×2a+15)+4==> a=3==> N=1993

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