蒋殿春《高级微观经济学》课后习题详解(第10章 不确定性下的交换) 下载本文

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蒋殿春《高级微观经济学》 第10章 不确定性下的交换

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1.假设个体1的效用函数是u1?y??log?y?c?,个体2的效用函数是u2?y??y?ay2,这里c和a都是正的常数。有人说个体1购买保险会比个体2更积极,判断这种说法是否正确,并陈述理由。

解:在状态空间中某一点?y1,y2?,个体购买保险的意愿取决于该点处无差异曲线的斜率。若约定状态2为灾害发生的自然状态?y1?y2?,灾害发生的概率为p,则无差异曲线斜率为:

?1?pu??y1? pu??y2?在条件y1?y2下,

u1??y1?y2?cu??y?2ay1?1??1 21??1

??y2?2ay2?1u1??y2?y1?cu2这表明,在面临相同的灾害环境时(相同的灾害概率p),个体1的无差异曲线较为平坦,这意味着他愿意以更多的状态1财富来换取一单位状态2财富(或说他比个体2更看重

状态2下的消费)。所以,在其他条件相同时,个体1购买保险更为积极是正确的。

2.假设某人是风险厌恶的,有2万元的初始财富;假设某种事故发生的概率是50%,在事故发生的情况下这个人的财富会损失一半。

(1)如果由一个保险公司向该个体提供事故保险,公平保费率应该是多少?用图解释, 在公平保费率下,这个人会购买完全保险。

(2)如果有A和B两个保险公司同时以公平保费率提供保险服务,但A公司要求客户只能购买完全保险,而B公司不允许客户的投保财产超过他所有财产的一半。证明这个人会购买A公司的保险。

解:(1)公平保费率就是保险公司提供的保费率不改变初始的期望收益,而为全部可能的损失投保就为完全保险。如图10-1所示,个体最开始处于A点,所在的无差异曲线为I0,在保险市场上,他支付?q换取灾难时刻数额为q的赔偿,于E点达到最优。如果保险公司提供的保费率为公平保费率??,个体的预算线变为图中线段AB所在的直线,并在B点达到

oo

最优。注意B点处于45角平分线上,这是因为在45角平分线与无差异曲线的交点,后者

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的切线斜率为??1?p?p,等于在公平保费率??下个体的无差异曲线斜率,而???p。在B点,个体为他可能遭受的全部损失L买了保险:他预先支付??L的保费给保险公司,换取灾难状态下L的索赔权。这个保险契约保证他无论在何种状态下都确定地拥有收益m???L。

这里公平保费率应该是事故发生的概率0.5。在公平保费率下这个人会购买完全保险(1万元)。

图10-1

(2)在完全保险限制下,购买保险q?L所获期望效用为:

Eu??1?p?u?m??L??pu?m??L?L?L??u?m??L?

在部分保险q?L2约束下,个体的期望效用为: Eu??1?p?u?m??q??pu?m??q?L?q?

?u???1?p??m??q??p?m??q?L?q??? ?u?m??q?pL?pq??u?m??q?

比较可得,这个人会购买A公司的保险。 3.有A和B两个人各自有一套价值为W的住房,假设两人都相信地震发生的概率是p,在那种情况下每套住房的价值将损失L,0?L?W。保险公司以保费率??p为居民提供住房保险服务。如果A的风险厌恶程度高于B,证明A投保的金额也高于B。

证明:由Arrow-Pratt定理,存在一个严格单增和严格凹的函数G?g?,使得:

uA?y??G??uB?y???

约定状态2为灾害状态,在保费率高于灾害概率条件下,投保人只可能订立部分保险合同,所以y1?y2;因uB?y?为单增函数,而G??g?严格单减,所以有:

G???uB?y1????G???uB?y2???

从而得到:

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?G??u?A?y1??uB?y1???uB?y1??uB??y1? ?u???G??A?y2??uB?y2???uB?y2?uB?y2?这意味着A的无差异曲线较B的无差异曲线平坦,在其他条件相同的情况下,A的保险

需求更高。

4.考虑下面保险需求的比较静态问题:

(1)证明:如果其他条件不变,那么灾害发生的概率越高,或者是灾害损失越大,则个体投保的金额越高;

(2)如果灾害发生的概率p增加时,保险公司按比例提高保费率:???0???p?p0?,讨论灾害发生概率从p0增加到p时保险需求的变化。

证明:(1)个体的最优保险需求条件是:

???1?p?u??y1???1???pu??y2??0

其中y1?m??q,y2?m?L??q?q。 方程两边同时对p求导,有:

?u??y1???2?1?p?u???y1??q?q2??1???u??y2???1???pu???y2??0 ?p?p进一步得到:

?u??y1???1???u??y2??q??2?0 ?p??1?p?u???y1???1???pu???y2?同理,在一阶条件等式两端对L求导,则:

?2?1?p?u???y1?进一步得到:

?q2??q???1???pu???y2???1??0 ?L??L?2?1???pu???y2??q?2?0 ?L??1?p?u???y1???1???2pu???y2?从而可以证明,其他条件不变,那么灾害发生的概率越高,或者是灾害损失越大,则个体投保的金额越高。

(2)保险公司的保费率调整政策???0???p?p0?可以改写为?????p或者

d???dp。

假定一开始在事故概率p时投标人在?y1,y2?达到了均衡,满足条件本章中(10.11)的等价形式为:

u??y1?1??1f????@ (1) u??y2?1p?1f?p?其中,f?z??1z?1。

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的均衡点?y1?,y2??满足:

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若事故概率上升为p??p??p,那么保费率相应提高为????????p???p,那么新

?u??y1??u??y2??f????f?p??

???利用微分中值定理,存在z???z,z??,使得f?z??f?z???z?z?f??z?,于是:

?u??y1??u??y2???1??1?????2??p (2) ?f?p???1p?1???1p2??pf????比较(1)(2)两式,其结果取决于下式是否成立:

1?1???1???1??2??1??0 (3) p2?????p??在?p?0的前提下,若(3)式成立,则(2)≥(1),表明u??y1?相对u??y1?来说

较大,而因为u???0,所以y1??y1,这意味着q??q。反之,若(3)式不成立,则(1)

?≥(2),表明u??y1?相对u??y1?来说较小,y1??y1,这意味着q??q。

5.假设有一个投资项目,有50%的机会产生2万元纯收益,50%的机会产生1.84万元净损失;某人的效用函数为u?y??y,拥有2万元确定的财产。

(1)证明这个人将拒绝投资。

(2)如果我们组织若干与上述完全相同的人对该项目进行联合投资,最少需要多少人投资才是可行的?

(3)上一问题中投资联合体包含多少人时,联合体的期望效用达到最大?

解:(1)投资后的期望效用为Eu?0.52?2?0.52?1.84?1.2,初始的效用u?2??2?1.2,所以这个人不会投资。

(2)如果n个人均摊损益,每一个体的期望效用为:

E?yn???u?y0?%??0.52?2n?0.52?1.84n ?满足等式E?最小人数nyn???u?y0?%??u?y0?

于是0.52?2n?0.52?1.84n?2,解得n?7.7。

所以至少需8人联合投资才可行。 (3)由于每个人是对称的,个人达到期望效用最大化时联合体的期望效用也达到最大,所以问题变为:

? max??0.52?2n?0.52?1.84n?985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解

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利用一阶条件,解得n?11.8。

所以当投资团队人数为12时,期望效用最大。

6.假设某人可选择的投资对象为n只收益分布相同但相互独立的证券,证明: (1)该投资者将其投资总额均分为n份分投于这n只证券,所得组合收益的标准差?p 最小;

(2)当n??时,?p?0。

证明:(1)记投资总额为a,wi为i的投资权重(相应的投资金额为awi),满足:

?w?1

ii?1n由于这n支证券是独立同分布的,记其方差为?2,则投资组合的方差为:

??a由Cauchy-Schwartz不等式:

2p2?wi?1n2ivar?yi??a?22?wi?1n2i

nn?n?22ab?a??ii??i?bi

i?1i?1?i?1?2a2?2?n?a2?2得??a??w??wi??n。

n?i?1?i?1?2p22n2i2a2?22等式右边的恰好是平均分配投资额时的组合方差,也就证明了这种组合的方差?pn最小。

a2?2(2)因为lim?0,结合(1)中的计算,可得?p?0。

n??n

7.在状态依赖收入交换的Edgeworth方框中,契约线是否一定处于两条450角平分线之间?

解:不一定。

一个相反的例子是:

当两种状态下的社会总收入相等时,两条450角平分线相重合,但契约线不一定在这条

450线上。当两种状态下的社会收入不等时,假设%y1?%y2,在此条件下,任何帕累托有效配

置中至少有一个个体的状态1收入高于状态2收入,不妨设ya?ya,根据帕累托有效条件

12(10.39):

?ya1pa1uapa21212???pu??y?

u??y?pu??y?b1bbb1aa2b2b2但条件ya?ya并不能推出yb?yb,所以也不能断言契约线一定在两条450线之间。

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