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蒋殿春《高级微观经济学》 第10章 不确定性下的交换

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1．假设个体1的效用函数是u1?y??log?y?c?，个体2的效用函数是u2?y??y?ay2，这里c和a都是正的常数。有人说个体1购买保险会比个体2更积极，判断这种说法是否正确，并陈述理由。

解：在状态空间中某一点?y1,y2?，个体购买保险的意愿取决于该点处无差异曲线的斜率。若约定状态2为灾害发生的自然状态?y1?y2?，灾害发生的概率为p，则无差异曲线斜率为：

?1?pu??y1? pu??y2?在条件y1?y2下，

u1??y1?y2?cu??y?2ay1?1??1 21??1

??y2?2ay2?1u1??y2?y1?cu2这表明，在面临相同的灾害环境时（相同的灾害概率p），个体1的无差异曲线较为平坦，这意味着他愿意以更多的状态1财富来换取一单位状态2财富（或说他比个体2更看重

状态2下的消费）。所以，在其他条件相同时，个体1购买保险更为积极是正确的。

2．假设某人是风险厌恶的，有2万元的初始财富；假设某种事故发生的概率是50%，在事故发生的情况下这个人的财富会损失一半。

（1）如果由一个保险公司向该个体提供事故保险，公平保费率应该是多少？用图解释， 在公平保费率下，这个人会购买完全保险。

（2）如果有A和B两个保险公司同时以公平保费率提供保险服务，但A公司要求客户只能购买完全保险，而B公司不允许客户的投保财产超过他所有财产的一半。证明这个人会购买A公司的保险。

解：（1）公平保费率就是保险公司提供的保费率不改变初始的期望收益，而为全部可能的损失投保就为完全保险。如图10-1所示，个体最开始处于A点，所在的无差异曲线为I0，在保险市场上，他支付?q换取灾难时刻数额为q的赔偿，于E点达到最优。如果保险公司提供的保费率为公平保费率??，个体的预算线变为图中线段AB所在的直线，并在B点达到

oo

最优。注意B点处于45角平分线上，这是因为在45角平分线与无差异曲线的交点，后者

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的切线斜率为??1?p?p，等于在公平保费率??下个体的无差异曲线斜率，而???p。在B点，个体为他可能遭受的全部损失L买了保险：他预先支付??L的保费给保险公司，换取灾难状态下L的索赔权。这个保险契约保证他无论在何种状态下都确定地拥有收益m???L。

这里公平保费率应该是事故发生的概率0.5。在公平保费率下这个人会购买完全保险（1万元）。

图10-1

（2）在完全保险限制下，购买保险q?L所获期望效用为：

Eu??1?p?u?m??L??pu?m??L?L?L??u?m??L?

在部分保险q?L2约束下，个体的期望效用为： Eu??1?p?u?m??q??pu?m??q?L?q?

?u???1?p??m??q??p?m??q?L?q??? ?u?m??q?pL?pq??u?m??q?

比较可得，这个人会购买A公司的保险。 3．有A和B两个人各自有一套价值为W的住房，假设两人都相信地震发生的概率是p，在那种情况下每套住房的价值将损失L，0?L?W。保险公司以保费率??p为居民提供住房保险服务。如果A的风险厌恶程度高于B，证明A投保的金额也高于B。

证明：由Arrow-Pratt定理，存在一个严格单增和严格凹的函数G?g?，使得：

uA?y??G??uB?y???

约定状态2为灾害状态，在保费率高于灾害概率条件下，投保人只可能订立部分保险合同，所以y1?y2；因uB?y?为单增函数，而G??g?严格单减，所以有：

G???uB?y1????G???uB?y2???

从而得到：

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?G??u?A?y1??uB?y1???uB?y1??uB??y1? ?u???G??A?y2??uB?y2???uB?y2?uB?y2?这意味着A的无差异曲线较B的无差异曲线平坦，在其他条件相同的情况下，A的保险

需求更高。

4．考虑下面保险需求的比较静态问题：

（1）证明：如果其他条件不变，那么灾害发生的概率越高，或者是灾害损失越大，则个体投保的金额越高；

（2）如果灾害发生的概率p增加时，保险公司按比例提高保费率：???0???p?p0?，讨论灾害发生概率从p0增加到p时保险需求的变化。

证明：（1）个体的最优保险需求条件是：

???1?p?u??y1???1???pu??y2??0

其中y1?m??q，y2?m?L??q?q。 方程两边同时对p求导，有：

?u??y1???2?1?p?u???y1??q?q2??1???u??y2???1???pu???y2??0 ?p?p进一步得到：

?u??y1???1???u??y2??q??2?0 ?p??1?p?u???y1???1???pu???y2?同理，在一阶条件等式两端对L求导，则：

?2?1?p?u???y1?进一步得到：

?q2??q???1???pu???y2???1??0 ?L??L?2?1???pu???y2??q?2?0 ?L??1?p?u???y1???1???2pu???y2?从而可以证明，其他条件不变，那么灾害发生的概率越高，或者是灾害损失越大，则个体投保的金额越高。

（2）保险公司的保费率调整政策???0???p?p0?可以改写为?????p或者

d???dp。

假定一开始在事故概率p时投标人在?y1,y2?达到了均衡，满足条件本章中（10.11）的等价形式为：

u??y1?1??1f????@ （1） u??y2?1p?1f?p?其中，f?z??1z?1。

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的均衡点?y1?,y2??满足：

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若事故概率上升为p??p??p，那么保费率相应提高为????????p???p，那么新

?u??y1??u??y2??f????f?p??

???利用微分中值定理，存在z???z,z??，使得f?z??f?z???z?z?f??z?，于是：

?u??y1??u??y2???1??1?????2??p （2） ?f?p???1p?1???1p2??pf????比较（1）（2）两式，其结果取决于下式是否成立：

1?1???1???1??2??1??0 （3） p2?????p??在?p?0的前提下，若（3）式成立，则（2）≥（1），表明u??y1?相对u??y1?来说

较大，而因为u???0，所以y1??y1，这意味着q??q。反之，若（3）式不成立，则（1）

?≥（2），表明u??y1?相对u??y1?来说较小，y1??y1，这意味着q??q。

5．假设有一个投资项目，有50%的机会产生2万元纯收益，50%的机会产生1.84万元净损失；某人的效用函数为u?y??y，拥有2万元确定的财产。

（1）证明这个人将拒绝投资。

（2）如果我们组织若干与上述完全相同的人对该项目进行联合投资，最少需要多少人投资才是可行的？

（3）上一问题中投资联合体包含多少人时，联合体的期望效用达到最大？

解：（1）投资后的期望效用为Eu?0.52?2?0.52?1.84?1.2，初始的效用u?2??2?1.2，所以这个人不会投资。

（2）如果n个人均摊损益，每一个体的期望效用为：

E?yn???u?y0?%??0.52?2n?0.52?1.84n ?满足等式E?最小人数nyn???u?y0?%??u?y0?

于是0.52?2n?0.52?1.84n?2，解得n?7.7。

所以至少需8人联合投资才可行。 （3）由于每个人是对称的，个人达到期望效用最大化时联合体的期望效用也达到最大，所以问题变为：

? max??0.52?2n?0.52?1.84n?985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解

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利用一阶条件，解得n?11.8。

所以当投资团队人数为12时，期望效用最大。

6．假设某人可选择的投资对象为n只收益分布相同但相互独立的证券，证明： （1）该投资者将其投资总额均分为n份分投于这n只证券，所得组合收益的标准差?p 最小；

（2）当n??时，?p?0。

证明：（1）记投资总额为a，wi为i的投资权重（相应的投资金额为awi），满足：

?w?1

ii?1n由于这n支证券是独立同分布的，记其方差为?2，则投资组合的方差为：

??a由Cauchy-Schwartz不等式：

2p2?wi?1n2ivar?yi??a?22?wi?1n2i

nn?n?22ab?a??ii??i?bi

i?1i?1?i?1?2a2?2?n?a2?2得??a??w??wi??n。

n?i?1?i?1?2p22n2i2a2?22等式右边的恰好是平均分配投资额时的组合方差，也就证明了这种组合的方差?pn最小。

a2?2（2）因为lim?0，结合（1）中的计算，可得?p?0。

n??n

7．在状态依赖收入交换的Edgeworth方框中，契约线是否一定处于两条450角平分线之间？

解：不一定。

一个相反的例子是：

当两种状态下的社会总收入相等时，两条450角平分线相重合，但契约线不一定在这条

450线上。当两种状态下的社会收入不等时，假设%y1?%y2，在此条件下，任何帕累托有效配

置中至少有一个个体的状态1收入高于状态2收入，不妨设ya?ya，根据帕累托有效条件

12（10.39）：

?ya1pa1uapa21212???pu??y?

u??y?pu??y?b1bbb1aa2b2b2但条件ya?ya并不能推出yb?yb，所以也不能断言契约线一定在两条450线之间。

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