例题精讲

4-3-2.三角形等高模型与鸟头模型

板块一 三角形等高模型

我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积?底?高?2

从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；

这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生

1变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的，则三角形面积与原来的一

3样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状． 在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图S1:S2?a:b

ABs1as2bCD

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图S△ACD?S△BCD；

反之，如果S△ACD?S△BCD，则可知直线AB平行于CD．

④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．

板块二 鸟头模型

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．

如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图 ⑴(或D在BA的延长线上，E在AC上)， 则S△ABC:S△ADE?(AB?AC):(AD?AE)

DAADEBCBEC

图⑴ 图⑵

【例 1】 如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点，且AD:AB?2:5，AE:AC?4:7，S△ADE?16平

方厘米，求△ABC的面积．

AADEDEBCB

【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接BE，S△ADE:S△ABE?AD:AB?2:5?(2?4):(5?4)，

C

S△ABE:S△ABC?AE:AC?4:7?(4?5):(7?5)，所以S△ADE:S△ABC?(2?4):(7?5)，设S△ADE?8份，

则S△ABC?35份，S△ADE?16平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，△ABC的

面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．

【答案】70

【巩固】如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的面积等于1，那

么三角形ABC的面积是多少？

AADEDEC BBC

【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接BE．

∵EC?3AE ∴SABC?3SABE 又∵AB?5AD

∴SADE?SABE?5?SABC?15，∴SABC?15SADE?15．

【答案】15

【巩固】如图，三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，BD?DC?4，BE?3，AE?6，乙部分面

积是甲部分面积的几倍？

AAEB甲E乙CB甲D乙CD

【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接AD．

∵BE?3，AE?6

∴AB?3BE，SABD?3SBDE 又∵BD?DC?4，

∴SABC?2SABD，∴SABC?6SBDE，S乙?5S甲．

【答案】5

【例 2】 如图在△ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB:AD?5:2，

AE:EC?3:2，S△ADE?12平方厘米，求△ABC的面积．

DDAAEBCBE

【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 连接BE，S△ADE:S△ABE?AD:AB?2:5?(2?3):(5?3)

S△ABE:S△ABC?AE:AC?3:(3?2)?(3?5):?(3?2)?5?，

C所以S△ADE:S△ABC?(3?2):?5?(3?2)??6:25，设S△ADE?6份，则S△ABC?25份，S△ADE?12平方厘

米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，△ABC的面积是50平方厘米．由此我们得到

一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比

【答案】50

【例 3】 如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，AF?2CF，三角形AFE(图中阴影部分)的

面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？

DCFBE

【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接FB．三角形AFB面积是三角形CFB面积的2倍，而三角形AFB面积是三角形AEF面积的2

倍，所以三角形ABC面积是三角形AEF面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形ABC面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE面积的（3?2）?6倍．因此，平行四边形的面积为8?6?48(平方厘米)．

【答案】48

【例 4】 已知△DEF的面积为7平方厘米，BE?CE,AD?2BD,CF?3AF，求△ABC的面积．

AFDBEAC

【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答

S△BDE:S△ABC?(BD?BE):(BA?BC)?(1?1):(2?3)?1:6，【解析】

S△CEF:S△ABC?(CE?CF):(CB?CA)?(1?3):(2?4)?3:8S△ADF:S△ABC?(AD?AF):(AB?AC)?(2?1):(3?4)?1:6

设S△ABC?24份，则S△BDE?4份，S△ADF?4份，S△CEF?9份，S△DEF?24?4?4?9?7份，恰好是7平方厘米，所以S△ABC?24平方厘米

【答案】24

【例 5】 如图16-4，已知．AE=

三角形DEF的面积111AC，CD=BC，BF=AB，那么等于多少?

三角形ABC的面积 546