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第十讲 列方程解应用题
小新去动物园看猩猩，有的猩猩在洞中，有的在外面玩耍。他就问管理员叔叔共有多少只猩猩，管理员叔叔开心的答道：“头数加只数，只数减头数，头数乘只数，只数除头数，把四个得数相加恰好是100 .”那么聪明的你知道一共有多少只猩猩吗？
呵呵！认真学习今天的好方法，你就可以准确、快速的解答出上面的问题了！
内容概述
在小学数学中，列方程解应用题与用算术方法解应用题是有密切联系的。它们都是以四则运算和常见的数量关系为基础，通过分析题里的数量关系，根据四则运算的意义列式解答的。但是，两种解答方法的解题思路却不同。由于数量关系的多样性和叙述方式的不同，用算术方法解答应用题，时常要用逆向思考，列式比较困难，解法的变化也比较多。用列方程的方法解答应用题，由于引进了字母表示未知数，可以使未知数直接参与运算，使题目中的数量关系更加清楚，把未知数当成已知数来用，使我们很容易理清数量关系，正确解决问题。特别是在解比较复杂的或有特殊解法的应用题时，用方程往往比较容易。
列方程解应用题的一般步骤是：
①审清题意，弄清楚题目意思以及数量之间的关系，；
②合理设未知数x，设未知数的方法有两种：问什么设什么（直接设未知数），间接设未知数； ③依题意确定等量关系，根据等量关系列出方程； ④解方程；
⑤将结果代入原题检验。
概括成五个字就是：“审、设、列、解、验”.
列方程解应用题的关键是找到正确的等量关系。寻找等量关系的常用方法是：根据题中“不 变量”找等量关系。
一些基本概念：
（1）像4x+2=9这样的的等式，只含有一个未知数x，而且未知数x的指数为1的方程叫做一元 一次方程；
（2）像2x+y=8这样的的等式，含有两个未知数x、y，而且未知数的指数都为1的方程叫做二元 一次方程；把两个二元一次方程用“﹛”写在一起，就组成了一个二元一次方程组；
（3）如果有两个未知数，一般需要两个方程才能求出唯一解，如果有三个未知数，一般需要三个 方程才能求出唯一解.
如果有更多的未知数，可借助今天学习的解题思路来类推出解法.
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类型Ⅰ：列简易方程解应用题
【例1】 （清华附中培训试题）（难度系数：★★）解下列方程： （1）3x?5?x?7 （2）4?x?5?2x （3）1?2(3?x)?x?7
（4）13?2(2x?3)?5?(x?2)
（5）8???(x?)??2x
352（7）?
分析：（1）
?5?11??（6）
x?1x??1 23?x?y?5
?2x?y?7（8）??2x?3y?11
?3x?2y?9移项得：3x?x?7?5,注意把“同类”放在等号的同侧，移项过程中注意变号；化简得：2x?2,等式两边同时除以2可得：x?1.把x?1代入原式满足等式.
以下各题不再写检验步骤，请教师强调学生答案要检验.
（2）2x?x?5?4，x?1. （3）1?6?2x?x?7，7?7?3x，x?0. （4）13?4x?6?5?x?2，19?4x?7?x，19-7=4x?x，12?3x，x?4.
4??x???x，x??x，x?x?，x?，x?10. （5）4???(x?)??x，2?6?333333?35?3（6）3（x?1）-2x?6，3x?3?2x?6，x?3.
请教师强调学生在解答时要注意：移项变号、同类放在等式一边、（4）中去括号时每一项都要发生相应变化、（6）中每一项都同时扩大6倍、（5）中可以先简化运算的一定要先化简。 （7）法1：加减消元法 （8）
?511??15?410410110（1）?2x?3y?11 （1）?x?y?5 ??（2）（2）?3x?2y?9 ?2x?y?7 （1）?3-（2）?2可得：5y?15，y?3, （2）式-（1）式可得：x?2，
将其代入（1）式可得：x?1.代入（1）式可得：y?3，?x?2所以??y?3?x?1所以可得：??y?3法2：代入法.
建议教师将（7）、（8）贯穿起来，让学生深刻体会：（1）代入法，以及代入法在什么情况下好用；（2）加减消元法，其本质是找（制造）到一个未知数的系数相等，再利用等式加减得到结果.
【例2】 （清华附中培训试题）（难度系数：★★）汽车以每小时72公里的速度笔直地开向寂静的山谷，驾驶员按一声喇叭，4秒后听到回音，听到回音时汽车离山谷多远？（声音的速度以340米/秒计算）
分析：72千米/小时=72000米/3600秒=2米/秒，设听到回音时汽车离山谷x米，根据题意可得：
340×4=2x+2×4，解得x=676（米）.
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【例3】 （小数报数学竞赛初赛）（难度系数：★★★）用绳子测井深，绳子两折时,余60厘米,绳子三折时,差40厘米，求绳长和井深？
分析： 法1：设井深是x厘米，则有：2x+60×2=3x-40×3 ，井深x=240（厘米），绳长600厘米； 法2：设绳长是y厘米，则有：
11y-60=y+40, 解得绳长y=600（厘米），井深240厘米. 23
【例4】 （奥数网习题库）（难度系数：★★）箱子里面有红、白两种玻璃球，红球数比白球数的3倍多两个，每次从箱子里取出7个白球，15个红球．如果经过若干次以后，箱子里只剩下3个白球，53个红球，那么，箱子里原有红球比白球多多少个?
分析：设取球的次数为x次．那么原有的白球数为（3+7x），红球数为（53+15x）．再根据题中的第一个条件：53+15x=3×（3+7x）+2，解得x=7，所以原有红球158个，原有白球52个，红球比白球多106个．此题用逆向思维较难求解，但是用方程则思路非常清晰简单．
【例5】 （奥数网习题库）（难度系数：★★★）小新去动物园看猩猩，有的猩猩在洞中，有的在外面玩耍。他就问管理员叔叔共有多少只猩猩，管理员叔叔开心的答道：“头数加只数，只数减头数，头数乘只数，只数除头数，把四个得数相加恰好是100 .”那么聪明的你知道一共有多少只猩猩吗？
分析：设动物园有x只猩猩，依题意有：（x+x）+（x-x）+x×x+x÷x=100，即2x+0+ x×x+1=100，亦即 x（x+2）=99，又ｘ整数，只有唯一解ｘ=9．
【例6】 （华杯赛复赛）（难度系数：★★★）从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路。一辆汽车上坡时每小时行驶20千米，下坡时每小时行驶35千米。车从甲地开往乙地需9小时，从乙地到甲地需7.5小时，问：甲乙两地公路有多少千米？从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路？
分析：从甲地到乙地的上坡路，就是从乙地到甲地的下坡路；从甲地到乙地下坡路，就是从乙地到甲地的上坡路。设从甲地到乙地的上坡路为x千米，下坡路为y千米，依题意得
解得x＝140，y=70，所以甲、乙两地间的公路有210千米，从甲地到乙地须行驶140千米的上坡路.
【例7】 （华杯赛决赛）（难度系数：★★★★）幼儿园有三个班，甲班比乙班多4人，乙班比丙班多4人.老师给小孩分枣，甲班每个小孩比乙班每个小孩少分了3个枣，乙班每个小孩比丙班每个小孩少分了5个枣，结果甲班比乙班总共多分了3个枣，乙班比丙班总共多分了5个枣，三个班总共分了多少个枣？
分析：法1：设甲班有x人，则乙班有（x－4）人，丙班有（x－8）人；甲班每人分得y个枣，则乙班每人分得（y+3）个，丁班每人分得（y+8）个．那么有甲班共分得xy个枣，乙班共分得(x-4)(y+3)枣，丙