第四章 第一节 平面向量的概念及其线性运算
一、选择题
1．若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( ) A．EF＝OF＋OE B．EF＝OF－OE C．EF＝－OF＋OE
D．EF＝－OF－OE 2．在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，AN＝λAB＋μAC，则λ＋
μ的值为( )
1
A. 21
C. 4
1B. 3D．1
3．设P是△ABC所在平面内的一点，BC＋BA＝2BP，则( ) A．P、A、B三点共线 C．P、B、C三点共线
B．P、A、C三点共线 D．以上均不正确
4．已知点O，N在△ABC所在平面内，且|OA|＝|OB|＝|OC|，NA＋NB＋NC＝0，则点O，N依次是△ABC的( )
A．重心 外心 C．外心 重心
B．重心 内心 D．外心 内心
5.如图，已知AB＝a，AC＝b，BD＝3DC，用a，b表示AD，则AD＝( )
3A．a＋b
413B.a＋b 4411C.a＋b 4431D.a＋b 44
6．已知△ABC中，点D是BC的中点，过点D的直线分别交直线AB、AC于E、F两点，若
AB＝λAE (λ＞0)，AC＝μAF (μ＞0)，则＋的最小值是( )
λμA．9
7B. 2
14
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C．5 二、填空题
9D. 2
7．设向量a，b满足|a|＝25，b＝(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为________． 8．设a，b是两个不共线的非零向量，若8a＋kb与ka＋2b共线，则实数k＝________. 9.如图所示，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ(不包括边界)．若OP＝aOP1＋bOP2，且点P落在第Ⅲ部分，则实数a，b满足
a________0，b________0(用“＞”，“＜”或“＝”填空)．
三、解答题
2
10.△ABC中，AD＝AB，DE∥BC交AC于E，BC边上的中线AM3交DE于N.设AB＝a，AC＝b，用a、b表示向量AE、BC、DE、
DN、AM、AN.
11．已知OB＝λOA＋μOC (λ、μ为实数)，若A、B、C三点共线，求证λ＋μ＝1.
12．已知△ABC中，AB＝a，AC＝b，对于平面ABC上任意一点O，动点P满足OP＝
OA＋λa＋λb，则动点P的轨迹是什么？其轨迹是否过定点，并说明理由．
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详解答案
一、选择题
1．解析：由减法的三角形法则知EF＝OF－OE. 答案：B
2．解析：∵M为边BC上任意一点， ∴可设AM＝xAB＋yAC (x＋y＝1)． ∴N为AM中点，
111
∴AN＝AM＝xAB＋yAC＝λAB＋μAC.
22211
∴λ＋μ＝(x＋y)＝. 22答案：A
3．解析：∵BC＋BA＝2BP，∴BC－BP＝BP－BA. 即 PC＝AP， ∴P、A、C三点共线． 答案：B
4．解析：由|OA|＝|OB|＝|OC|知，O为△ABC的外心；NA＋NB＋NC＝0，知，
N为△ABC的重心．
答案：C
11
5. 解析：CB＝AB－AC＝a－b，又BD＝3DC，∴CD＝CB＝(a－b)，∴AD44113
＝AC＋CD＝b＋(a－b)＝a＋b.
444
答案：B
6．解析：由题意得，AB＋AC＝2AD＝λAE＋μAF?AD＝
λ2
AE＋
μ2
AF，
λμ14λμ1452λμ又D、E、F在同一条直线上，可得＋＝1.所以＋＝(＋)(＋)＝＋＋
22λμ22λμ2μ2λ59
≥＋2＝，当且仅当2λ＝μ时取等号． 22
答案：D 二、填空题
7．解析：设a＝(x，y)，x＜0，y＜0，则x－2y＝0且x＋y＝20，解得x＝4，y＝2(舍
2
2
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去)，或者x＝－4，y＝－2，即a＝(－4，－2)．
答案：(－4，－2)
8．解析：因为8a＋kb与ka＋2b共线，所以存在实数λ，使8a＋kb＝λ(ka＋2b)，即
??8－λk＝0，
(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0.又a，b是两个不共线的非零向量，故?
?k－2λ＝0，?
解得k＝±4.
答案：±4
9. 解析：由于点P落在第Ⅲ部分，且OP＝aOP1＋bOP2， 则根据实数与向量的积的定义及平行四边形法则知a＞0，b＜0. 答案：＞ ＜ 三、解答题
?DE∥BC，
10. 解： ?
??2
3AC＝3
b，
?
AD＝3 AB
? AE＝22
BC＝AC－AB＝b－a.
由△ADE∽△ABC，得DE＝23BC＝2
3(b－a)．
又AM是△ABC的中线，DE∥BC， 得DN＝12DE＝1
3
(b－a)．
又AM＝12(AB＋AC)＝1
2
(a＋b)．
△ADN∽△ABM?? AD＝2
3 AB ??
? AN＝21
?
3AM＝3(a＋b)． 11．证明：∵OB＝λOA＋μOC ∴AB＝OB－OA＝(λ－1) OA＋μOC
CB＝OB－OC＝λOA＋(μ－1) OC
又∵A、B、C三点共线 ∴AB＝kCB 即
λ－1λ＝μμ－1
＝k ∴λ＋μ＝1.
12．解：依题意，由OP＝OA＋λa＋λb，得OP－OA＝λ(a＋b)，
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即AP＝λ(AB＋AC)．如图，以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，对角线交于O，则AP＝λAD，
∴A、P、D三点共线，即P点的轨迹是AD所在的直线，由图可知P点轨迹必过△ABC边
BC的中点．
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