2019年高中数学单元测试卷
导数及其应用
学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________
一、选择题
1．设曲线y?A．2 D.
x?1在点(3，2)处的切线与直线ax?y?1?0垂直，则a?（ ） x?111B． C．? D．?2(2008全国1理)
22由y?x?1221?1?,y'??,y'|??,?a?2,a??2 x?32x?1x?12?x?1?二、填空题
2．设直线ｙ＝ａ分别与曲线y?x和y?e交于点M、N，则当线段MN取得最小值时ａ的值为___________.
3．设函数f(x)＝ax＋sinx＋cosx．若函数f(x)的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线y＝f(x)在点A，B处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为 ▲ ．[－1，1]
2?在1[e,??)上是减函数，则实数a的取值范围4．函数f(x)?ax?lnx2x是 ．
5．已知存在实数a，满足对任意的实数b，直线y??x?b都不是曲线y?x3?3ax的切线，则实数a的取值范围是 ▲ ．
6．直线l与函数y?sinx(x??0,??)的图像相切于点A，且l//OP，O为坐标原点，P为图像的极值点，l与x轴交于点B，过切点A作x轴的垂线，垂足为C，则
BA?BC? . 7．已知f(x)?x?ax在区间[1，+∞）上是单调增函数，则实数a的最大值是 。 8．若函数f(x)?2x?lnx在点（1，2）处的切线方程为_ .
9．若函数ｆ（ｘ）＝ ｘ＋ａｘ－２在区间（１,＋∞）上是增函数，则实数ａ的取值范围为__________
323 10．
已知函数
f(x)?x?1?a2,g(x)?x3?a3?2a?1x若存在，
?1,?2??,a?(a?1)，使得|f(?1)?g(?2)|?9，则a的取值范围是 ▲ .
?a?11．曲线y?x?x?2在点（1，0）处的切线方程为 ．
2?1?
三、解答题
12．已知函数f(x)?alnx?x2 (a为实常数)． （1）若f(x)在?1,???单调递增，求a的取值范围； （2）求函数f(x)在?1,e?上的最小值及相应的x值；
（3）若对任意x??1,2?，f(x)?(a?2)x恒成立，求实数a的取值范围．
13．已知函数f(x)?13x?x2?3x. 3(Ⅰ) 求函数的单调区间； (Ⅱ) 求函数f(x)的极值
14．已知函数f(x)?lnx?1?x,其中a为大于零的常数。 ax (1）若函数f(x)在区间[1,??)内调递增，求a的取值范围； (2）求函数f(x)在区间[1，2]上的最小值。 (3）求证：对于任意的n?N*,且n?1时,都有lnn?111????成立。 23n
15．已知函数f(x)?x?3ax?1,a?0
3???求f(x)的单调区间；
????若f(x)在x??1处取得极值，直线y=m与y?的取值范围。
f(x)的图象有三个不同的交点，求m
关键字：多项式函数；求单调区间；已知极值点；已知交点个数 16．已知函数f(x)?x?(1?a)x?a(a?2)x?b (a,b?R)．
（I）若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是?3，求a,b的值； （II）若函数f(x)在区间(?1,1)上不单调，求a的取值范围． ．．．解析 （Ⅰ）由题意得f?(x)?3x?2(1?a)x?a(a?2)
232f(0)?b?0? 又? ，解得b?0，a??3或a?1
?f(0)??a(a?2)??3? （Ⅱ）函数f(x)在区间(?1,1)不单调，等价于
导函数f?(x)在(?1,1)既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数 即函数f?(x)在(?1,1)上存在零点，根据零点存在定理，有 ?5?a?1且a??17．设函数f(x)??1 213x?x2?(m2?1)x,(x?R,)其中m?0 3，f（1））（Ⅰ）当m?1时，曲线y?f(x)在点（1处的切线斜率
（Ⅱ）求函数的单调区间与极值；
（Ⅲ）已知函数f(x)有三个互不相同的零点0，x1,x2，且x1?x2。若对任意的
x?[x1,x2]，f(x)?f(1)恒成立，求m的取值范围。
答案 ：
当m?1时，f(x)?13x?x2,f/(x)?x2?2x,故f'(1)?1 3，f（1））所以曲线y?f(x)在点（1处的切线斜率为1.
'（2）解析 f(x)??x?2x?m?1，令f(x)?0，得到x?1?m,x?1?m
'22因为m?0,所以1?m?1?m
当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表：
'x f'(x) f(x) (??,1?m) + 1?m 0 极小值 (1?m,1?m) - 1?m 0 极大值 (1?m,??) + f(x)在(??,1?m)和(1?m,??)内减函数，在(1?m,1?m)内增函数。