2016年江苏省南通市高考数学模拟试卷（四）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．（5分）已知集合A={x|﹣2＜x＜2}，集合B为自然数集，则A∩B= ．
2
2．（5分）若复数z=a﹣1+（a+1）i（a∈R）为纯虚数，则a= ． 3．（5分）在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积之和的，且样本容量为160，则中间一组的频数为 ． 4．（5分）从2个红球，2个黄球，1个白球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是 ． 5．（5分）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为 ．
6．（5分）三棱锥S﹣ABC中，面SAB，SBC，SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形，且AB=BC=CA=2，则三棱锥S﹣ABC的表面积是 ．
7．（5分）已知F为双曲线C：2x﹣my=4m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为 ． 8．（5分）
与
的大小关系是 ．（用“＞”或“＜”连接）
﹣）的图象，只需将y=sin的图象向左平移φ（φ＞0）
2
2
9．（5分）为了得到y=cos（
个单位，则φ的最小值为 ． 10．（5分）若函数f（x）=
，在其定义域上恰有两个零点，则正实数a
的值为 ．
*
11．（5分）已知{an}，{bn}均为等比数列，其前n项和分别为Sn，Tn，若对任意的n∈N，总有
=
，则
= ．
2
2
12．（5分）如图，在圆O：x+y=4上取一点A（﹣，1），E、F为y轴上的两点，且AE=AF，延长AE，AF分别与圆交于点MN．则直线MN的斜率为 ．
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13．（5分）如图，AB=BC=1，∠APB=90°，∠BPC=45°，则
?
= ．
14．（5分）已知正实数a、b、c满足+=1，
+
+
=1，则实数c的取值范围是 ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（14分）已知向量（1）若（2）若
，求向量、的夹角θ；
，函数
的最大值为，求实数λ的值．
，
，
．
16．（14分）如图，平面ABC⊥平面DBC，AB=AC，AB⊥AC，DB=DC；DE⊥平面DBC，BC=2DE，
（1）求证：DE∥平面ABC； （2）求证：AE⊥平面ABC． 17．（14分）现有一个以OA、OB为半径的扇形池塘，在OA、OB上分别取点C、D，作DE∥OA、
CF∥OB交弧AB于点E、F，且BD=AC，现用渔网沿着DE、EO、OF、FC将池塘分成 如图所示的三种的养殖区域．若OA=1km，（1）求区域Ⅱ的总面积；
，
．
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（2）若养殖区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的每平方千米的年收入分别是15万元、20万元、10万元，记年总收入为y万元． 试问当θ为多少时，年总收入最大？
18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B分别是椭圆：
+y=1的左、右顶点，
2
P（2，t）（t∈R，且t≠0）为直线x=2上一动点，过点P任意引一直线l与椭圆交于C、D，连结PO，直线PO分别和AC、AD连线交于E、F．
（1）当直线l恰好经过椭圆右焦点和上顶点时，求t的值； （2）若t=﹣1，记直线AC、AD的斜率分别为k1，k2，求证：（3）求证：四边形AFBE为平行四边形．
+
定值；
19．（16分）已知数列{an}，{bn}满足：对于任意的正整数n，当n≥2时，an+bnan﹣1=2n+1． （1）若bn=（﹣1），求
n
2
2
的值；
（2）若数列{an}的各项均为正数，且a1=2，bn=﹣1．设Sn=试比较Sn与Tn的大小，并说明理由．
20．（16分）已知函数f（x）=x，g（x）=alnx．
2
，Tn=
，
（1）若曲线y=f（x）﹣g（x）在x=1处的切线的方程为6x﹣2y﹣5=0，求实数a的值； （2）设h（x）=f（x）+g（x），若对任意两个不等的正数x1，x2，都有2恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若在[1，e]上存在一点x0，使得f′（x0）+数a的取值范围．
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＞
＜g（x0）﹣g′（x0）成立，求实
[选修4-1：几何证明选讲]（任选两个） 21．（10分）在圆O中，AB，CD是互相平行的两条弦，直线AE与圆O相切于点A，且与
2
CD的延长线交于点E，求证：AD=AB?ED．
[选修4-2：矩阵与变换]
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线x+y﹣2=0在矩阵A=得到的直线仍为x+y﹣2=0，求矩阵A的逆矩阵A．
[选修4-4：坐标系与参数方程选讲] 23．已知直线l：
（t为参数）经过椭圆C：
（φ为参数）的右焦
﹣1
对应的变换作用下
点F．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|?|FB|的最大值与最小值．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知a，b，c均为正数，且a+2b+3c=9．求证：
+
+
≥．
解答题
2
25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2px（p＞0）的准线l与x轴交于点M，过M的直线与抛物线交于A，B两点．设A（x1，y1）到准线l的距离为d，且d=λp（λ＞0）．
（1）若y1=d=1，求抛物线的标准方程； （2）若
+λ
=，求证：直线AB的斜率为定值．
26．（10分）在自然数列1，2，3，…，n中，任取k个元素位置保持不动，将其余n﹣k个元素变动位置，得到不同的新数列．由此产生的不同新数列的个数记为Pn（k）．
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（1）求P3（1） （2）求
P4（k）；
（3）证明
kPn（k）=nPn﹣1（k），并求出kPn（k）的值．
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