概率论第二版第1、2章习题解答 下载本文

解 设A={产品合格},A={产品不合格},P(A)?0.97,P(A)?0.03; B={接收产品},B={拒收产品},P(B|A)?0.02,P(B|A)?0.05.

由贝叶斯公式,所求概率为

P(A|B)??P(A)P(B|A)

P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)0.97?0.98?0.9984.

0.97?0.98?0.03?0.0512. 一盒中有12个乒乓球,其中9个是新的.第一次比赛时从中任取3个来用,比赛后仍放回盒中,第二次比赛时再从盒中任取3个. 求:(1)第二次取出的球皆为新球的概率;(2)若第二次取的球皆为新球,求第一次取到的都是新球的概率.

解 设Ai={第一次取到i个新球},i=0,1,2,3, B={第二次取出的都是新球}.

31213C3C9C3C92C3C912710884. P(A0)?3?,P(A1)?3?,P(A2)?3?,P(A3)?3?C12220C12220C12220C1222033C9C88456, P(B|A0)?3?,P(B|A1)?3?C12220C1222033C7C63520. P(B|A2)?3?,P(B|A3)?3?C12220C12220(1)由全概率公式,有

P(B)?P(A0)P(B|A0)?P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)?P(A3)P(B|A3)

?0.1458;

(2)由贝叶斯公式,有 P(A3|B)?P(A3)P(B|A3)?0.2381.

P(B)13. 某人忘记了某电话号码的最后一个数字,但知最后一个数字为奇数,

求拨号不超过3次而接通电话的概率.

解 设Ai={第i次拨号拨通电话},i=1,2,3, B={拨号不超过3次接通电话},则B?A1?A1A2?A1A2A3.

1411P(A1)?,P(A1A2)?P(A1)P(A2|A1)???,

55454311P(A1A2A3)?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)????,

54353?P(1A2A?)P(1AA?). 故 P(B)?P(1A)23A514. 某仓库有同样规格的产品12箱,其中甲、乙、丙三个厂生产的产品分别为6箱、4箱、2箱,且三个厂的次品率分别为8%、6%、5%. 现从12箱中任取一箱,再从该箱中任取一件产品,求取到一件次品的概率.

解 设A1={甲厂的产品},A2={乙厂的产品},A3={丙厂的产品},B={取到一件次品}.即A1,A2,A3构成一个完备事件组. 则 P(B)?P(1A)P(B1|A?) ?P|A)2(A)P(B2?3 3P(A)P(B|A)642?0.08??0.0?6?0.0?51212120. 0683.

15. 第一箱中有2个白球和6个黑球,第二箱中有4个白球与2个黑球. 现从第一个箱中任取出两球放到第二个箱中,然后从第二个箱中任意取出一球,求此球是白球的概率.

解 设A1={从第一箱中取出2个白球},A2={从第一箱中取出1个白球1个黑球},A3={从第一箱中取出2个黑球},B={从第二箱中取出1个白球}. 即A1,A2,A3构成一个完备事件组,且

1122C2C612C6C2115. P(A1)?2?,P(A2)?2?,P(A1)?2?C828C828C828

则 P(B)?P(1A)P(B1|A?) ?P|A)2(A)P(B2?3 3P(A)P(B|A)161251549??????. 2882882881616. 设袋中有n个黑球,m个白球,现从袋中依次随机取球,每次取一个球,观察颜色后放回,并加入1个同色球和2个异色球. 求第二次取到黑色球且第三次取到白色球的概率.

解 设Ai={第i次取到白色球},i=1,2,3,则所求概率为 P(A2A3)?P(A1)P(A2A3|A1)?P(A1)P(A2A3|A1)

?

mn?2m?3nn?1m?4?????. n?mn?m?3n?m?6n?mn?m?3n?m?6习 题 1.4

1. 已知P(A)?0.4, P(B)=0.3,且A、B相互独立,试求:P(A|B), P(A?B),

P(AB), P(AB), P(A?B).

?解 P(A|B)P(AB)P(A)P(B)??P(A)?0., 4P(B)P(B)P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?P(A)?P(B)?P(A)P(B)?0.58,

P(AB)?P(A)P(B)?(1?0.4)?0.3?0.18, P(AB)?P(A)P(B)?(1?0.4)?(1?0.3)?0.42,

P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?(1?0.4)?0.3?0.18?0.72.

2. 甲、乙两人各自向同一目标射击,已知甲命中目标的概率为 0.7,乙命中目标的概率为0.8,求:(1)甲、乙两人同时命中目标的概率;(2)恰有一人命中目标的概率;(3)目标被命中的概率.

解 设A={甲击中目标},B={乙击中目标},则P(A)?0.7,P(B)?0.8. (1)P(AB)?P(A)P(B)?0.7?0.8?0.56;

(2)P(AB?AB)?P(AB)?P(AB)?P(A)P(B)?P(A)P(B)?0.38; (3)P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?P(A)?P(B)?P(A)P(B)?0.94. 3. 甲、乙二人约定,将一枚匀称的硬币掷三次,若至少出现两次正面,则甲胜;否则乙胜.求甲胜的概率.

解 至少出现两次正面包含两种情况:恰有两次出现正面、三次都是正

113面.恰有两次出现正面的概率为C32()2??;三次都是正面的概率为

2281313C3()?.

28311故甲胜的概率为 ??.

8825. 甲、乙二人进行棋类比赛,假设没有和棋,每盘甲胜的概率为p,乙

胜的概率为1-p. 每盘胜者得1分,输者得0分. 比赛独立地进行到有一人首先超过对方2分时结束. 求甲首先超过对方2分的概率.

解 设C?{甲首先超过对方2分},每盘比赛若甲胜记为A, 若乙胜记为B, 根据题意,比赛共进行偶数盘,若甲首先超过对方2分时,则有 共赛两盘: AA;

共赛四盘: ABAA?BAAA;

共赛六盘: ABABAA?BAABAA?ABBAAA?BABAAA; 共赛八盘: ABABABAA?BAABABAA?ABBAABAA?ABABBAAA ?BABAABAA?BAABBAAA?ABBABAAA?BABABAAA; ??

即 P(C)?p2?2p3(1?p)?22p4(1?p)2?23p5(1?p)3?24p6(1?p)4?? ?p2[1?2p(1?p)?22p2(1?p)2?23p3(1?p)3?24p4(1?p)4??]

p2 ?p?[2p(1?p)]?.

1?2p(1?p)k?02?k6. 一汽车沿一街道行驶,要经过三个有信号灯的路口,每个信号灯工作都是相互独立,且红、黄、绿信号显示时间的比例为2:1:2,求此车通过三个路口时遇到一次红灯的概率.

解 汽车经过三个有信号灯的路口,可以看作是3重伯努利试验.此车通过三个路口时遇到一次红灯的概率为

312C3()?()2?0.432. 557. 甲、乙、丙三人同时独立的向一飞机射击,他们击中飞机的概率分别为0.4,0.5,0.7. 设若只有一人击中,飞机坠毁的概率为0.2,若恰有两人击中,飞机坠毁的概率为0.5,若三人均击中,飞机坠毁的概率为0.8. 求飞机坠毁的概率.

解 设Ai={飞机被i个人击中},i=1,2,3, B={飞机坠毁},由独立性有

P(A1)?0.4?0.5?0.3?0.6?0.5?0.3?0.6?0.5?0.7?0.36, P(A2)?0.4?0.5?0.3?0.4?0.5?0.7?0.6?0.5?0.7?0.41, P(A3)?0.4?0.5?0.7?0.14.

P(B|A1)?0.2,P(B|A2)?0.5,P(B|A3)?0.8, 故 P(B)??PA(iP)B(Ai|?)i?130.?36?0.?20.?41?0.5?0.1.4 0.80.3898. 某厂生产的仪器,经检验可直接出厂的占0.7,需调试的占0.3,调试后可出厂的占0.8,调试后仍不能出厂的占0.2. 现新生产n(n≥2)台仪器(设每台仪器的生产过程相互独立),求:(1)全部能出厂的概率;(2)恰有两台不能出厂的概率;(3)至少两台不能出厂的概率.

解 设A={1台仪器可直接出厂}, B={1台仪器最终能出厂},则