A?B,B?A?BA，
p?P(B)?P(A)?P(BA)?P(A)?P(A)P(B|A)?0.7?0.3?0.8?0.94． （1）P{仪器全部能出厂}?pn?0.94n；
n?2n?2n?2（2）P{恰有两台不能出厂}?Cnp(1?p)2?Cn0.94n?20.062；
（2）P{至少两台不能出厂}
11?1?[pn?Cn(1?p)pn?1]?1?0.94n?Cn0.06?0.94n?1．
9． 5个元件工作独立，每个元件正常工作的概率为p，求以下系统正常工作的概率．
（1）串联；（2）并联；（3）桥式连接（如图1．4．1）．
解 设C为系统正常工作，利用独立性有
（1） 当元件串联时，需5个元件都正常工作，系统才能正常工作：
55P(C)?C5p?p5；
（2）当元件并联时，5个元件至少有一个正常工作，系统才能正常工作：
P(C)?1?(1?p)5；
（3）记中间的元件为A5，左面两个元件分别为A1,A3，右面两个元件为
A2,A4。当A5正常工作时，相当于A1,A3并联，与A2,A4并联电路再串联而得；当A5失效时，相当于A1,A2串联，与A3,A4串联电路进行并联而得．则
P(C)?P(A5)P(C|A5)?P(A5)P(C|A5)．
P(C|A5)?P[(A1?A3)?(A2?A4)]?[1?(1?p)2]2； P(C|A5)?P[(A1A2)?(A3A4)]?1?(1?p2)2；
故 P(C)?P(5A)P(C5|A?)222 (pP|A)?[?12(1p?)?]?115(A)P(C5?)
2 ?2p5?5p4?2p3?2p．
10． 已知一条昆虫生产n个卵的概率为
pn??nn!e??,(n?0,1,2,?,??0)，
设一个虫卵孵化为成虫的概率为p(0?p?1)． 若卵的孵化是相互独立的，求此昆虫的下一代有k条成虫的概率．
解 设Bk={昆虫的下一代有k条成虫}，An={昆虫共生产n个卵}，
n?0,1,2,?，注意到独立性，
kkn?k当n?k时，P(Bk|An)?0；当n≥k时，P(Bk|An)?Cnpq,(q?1?p)．
??P(Bk)??P(An)P(Bk|An)??P(An)P(Bk|An)
n?0n?k??n?k??nn!e???n!pkqn?k
k!(n?k)!(?p)k??p?(?q)n?k??q(?p)k??p?e?e?e,(k?0,1,2,?)．
k!(n?k)!k!n?k
第2章 随机变量及其分布
习 题2.1
1． 设随机变量X的分布列为P(X?k)?k6,(k?1,2,3)，求 P(X?2)；
P(X≤3)；P(1.5≤X≤2.5)．
解 P(X?2)?P(X?3)?31?； 62
?PX(? P(X≤3)123?2P)X?(?3?)??；
66621P(1.5≤X≤2.5)?P(X?2)??．
63?1)PX?(14． 在10件产品中有3件次品，从中任取2件，用随机变量X表示取到的次品数，试写出X的分布列及分布函数．
解 X取值0,1,2，且
211C7C7?C3C32177P(X?0)?2?,P(X?1)??,P(X?2)?2?， 2C1015C1015C1015 0 1 ? X的分布列为 ???．
7/15 7/15 1/15??分布函数F(x)?P(X≤x)， 当x?0时，P(X≤x)?0，
当0≤x?1时，P(X≤x)?P(X?0)?7， 1514， 15当1≤x?2时，P(X≤x)?P(X?0)?P(X?1)?当2≤x时，P(X≤x)?P(X?0)?P(X?1)?P(X?2)?1，
x?0?0?7150≤x?1?故分布函数为 F(x)??．
?14151≤x?2?x≥2?1,6． 甲、乙、丙三人参加志愿者服务，每人在周一至周五任选两天，记X为这三人周五参加志愿服务的人数，求X的分布列．
解 记p?P{一人选中周五参加志愿服务}，q?P{一人没有选中周五参加
112C4C12C43志愿服务}，则p?2?,q?2?．
C55C55X为这三人周五参加志愿服务的人数，则X取值为0，1，2，3．且
327541121232P(X?0)?C30p0q3?()3?pq?C3()()?，P(X?1)?C3，
512555125233628330P(X?2)?C32p2q1?C32()2()?pq?()3?，P(X?3)?C3．
551255125所以X的分布列为
? 0 1 2 3???． 27/125 54/125 36/125 8/125??7. 甲、乙二人轮流投篮，甲先开始，直到有一人投中为止，假定甲、乙二人投篮的命中率分别为0.4和0.5．求（1）二人投篮总次数Z的概率分布；（2）甲投篮次数X的概率分布；（3）乙投篮次数Y的概率分布．
解 （1）若Z?2k?1(k?1,2,?)：表示第2k?1次甲命中，前2k?2次甲、乙各投篮k?1次均未命中．则
P{Z?2k?1}?(1?0.4)k?1?(1?0.5)k?1?0.4?0.4?0.3k?1，
若Z?2k(k?1,2,?)：表示第2k次乙命中，前2k?1次甲投篮k次均未命中乙投篮k?1次均未命中。则
P{Z?2k}?(1?0.4)k?(1?0.5)k?1?0.5?0.3k．
即二人投篮总次数Z的概率分布为
k?1??P{Z?2k?1}?0.4?0.3(k?1,2,?)． ?k??P{Z?2k}?0.3（2）甲投篮次数X的取值为1,2,?，且事件{X?k}包含两种情况：（a）第k次甲命中，前面甲、乙各投篮k?1次均未命中；（b）第k次乙命中，前面甲投篮k次乙投篮k?1次均未命中．则
k?1 P{X?k}?(1?0.4)??(1k?10.5?)?0.?4k?1(1?0.?4k) ?0.5)(10.5k?1?0.3 ?0.7
即甲投篮次数X的概率分布为P{X?k}?0.7?0.3k?1,(k?1,2,?)．
（3）乙投篮次数Y的取值为0,1,2,?，且事件{Y?k}(k≥1)包含两种情况：（a）第k次乙命中，前面甲投篮k次乙投篮k?1次均未命中；（b）第k?1次甲命中，前面甲、乙各投篮k次均未命中．则
P{Y?0}?0.4
k P{Y?k}?(1?0.4?)?(1k?10.5?)?0.?5k(1?0.?4k) ?(10.5)0.4k?0. ?1.4 3?P{Y?0}?0.4,即乙投篮次数Y的概率分布为?． k?P{Y?k}?01.4?0.3,(k?1,2,?)?ae?2x, x≥0；?9． 设随机变量X的密度函数为f(x)??，求（1）常数a；（2） ??0, x?0.P(X?3)．
解 （1）由密度函数的性质?????f(x)dx?1，有
??0?所以a?2．
??01ae?2xdx?a?(?)e?2x2?????a?1， 2（2）P(X?3)??3f(x)dx??2e?2xdx?e?6．
32?, a?x???；?10． 设随机变量X的密度函数为f(x)???(1?x2)，求常
?0, x≤a.?数a的值，如果P(a?X?b)?0.5，求b的值．
解 由密度函数的性质?????f(x)dx?1，有
??a???a22dx??arctanx2?(1?x)??2??(?arctana)?1， ?2