E(X)????a2??3a23223ax?4dx?， E(X)??x?4dx?3a?3， ax2xD(X)?E(X2)?[E(X)]2?3a?93?， 442441D(X?a)?D(X)?a?1?． 393310． 设随机变量X服从[0,??]上的均匀分布，Y?cosX，求Y的期望与方差．
解 随机变量X服从[0,??]上的均匀分布，密度函数为
??20≤x≤;?, f(x)???2
?? 0, 其它.2?2E(Y)?E(cosX)??cosx?f(x)dx??2cosxdx?，
???0???2?2?1?cos2x122E(Y)??cosx?f(x)dx??cosxdx??2dx?，
???0?0222??2D(Y)?E(Y2)?[E(Y)]2?14?． 2?211．在n次独立重复试验中, 成功率为0.75, 要使“试验成功的频率在0.74~0.76之间” 的概率不小于0.90，则至少要进行多少次试验?
解 设X为n次独立重复试验中成功的次数，则X~b(n,0.75)，且
E(X)?0.75n,D(X)?n?0.75?(1?0.75)?0.1875n．
由题设，有P{0.74≤P{0.74≤X≤0.76}≥0.90，即有 nX≤0.76}?P{0.74n≤X≤0.76n} n?P{X?E(X)≤0.01n}
≥1?D(X)0.1875n1875?1??1?≥0.90
(0.01n)2(0.01n)2n解得n≥18750，所以至少要进行18 750次试验．
12． 设X为非负连续型随机变量, 期望存在，应用切比雪夫不等式证明：对任意正实数a恒有P{X?a}≥1?E(X)a．
证明 设X的密度函数为f(x)，由于X取值非负，故对任意的a?0，有
P{X?a}??f(t)dt?1??0a??af(t)dt
??tt1??f(t)dt?1??tf(t)dt． 当t?(a,??)时，≥1，有P{X?a}≥1??aaaaa扩大积分限到(0,??)，被积函数tf(t)在(0,??)上非负，所以上述积分进一步增大，从而
P{X?a}≥1?1??E(X)tf(t)dt?1?． a?0a
习 题2.4
1． 设随机变量X~B(n,p)，已知E(X)?0.6,E(X2)?0.84，求两个参数n与p的值．
解 由题设E(X)?np?0.4，
D(X)?E(X2)?[E(X)]2?np(1?p)?0.48，
由以上两式解出n?3,p?0.2．
2． 设X服从泊松分布，已知2P(X?1)?P(X?2)，求P(X?3)及D(X)． 解 X服从泊松分布，P(X?k)??kk!e??, k?0,1,2,?
又2P(X?1)?P(X?2)，即
2??11!e????22!e??
由于参数?>0，所以解得??4．
43?4?e? P{X?3}3!D(X)???4． 0.1，95 43． 在一个繁忙的交通路口，设单独一辆汽车发生意外事故的概率为p＝0.001． 如果某段时间内有1 000辆汽车通过这个路口，问这段时间内，该路口至少发生1起意外事故的概率是多少？
解 设出事故的次数为X，则X~b(1000,0.001)，即有
P{X≥1}?1?P{X?0}
由泊松定理（这里??np?1000?0.001?1）得
P{X≥1}?1?P{X?0}?1?e?1?0.6322．
4． 一本5万字的学生用书，按常规允许出错率为0.000 1，求该书不多于10个错误的概率．
解 设出错误的次数为X，则X~b(50000,0.0001)，即有
P{X≤10}??P{X?i}
i?010由泊松定理（这里??np?50000?0.0001?5），并查泊松分布表，得
P{X≤10}??P{X?i}?0.986．
i?0105． 大型设备在任何长为t的时间内，发生故障的次数N(t)服从参数为?t
的泊松分布，求（1）相继两次故障之间的时间间隔T的概率分布；（2）在设备已无故障工作8小时的情况下，再无故障工作8小时的概率．
解 （1）由于T是非负随机变量，当t?0时，F(t)?P{T≤t}?0． 当t≥0时，由于事件{T?t}与事件{N(T)?0}等价，因此
F(t)?P{T≤t}?1?P{T?t}?1?P{N(t)?0}?1?e??t．
?1?e??t, t≥0;? 即T服从参数为?的指数分布， F(t)??
?? 0, t?0.（2）由上可知所求无故障工作8小时的概率为
P{T≥16,T≥8}P{T≥16}e?16?P{T≥16T≥8}????8??e?8?．
P{T≥8}P{T≥8}e6． 某车间有同类设备100台，各台设备工作互不影响． 如果每台设备发生故障的概率是0.01，且一台设备的故障可由一个人来处理，问至少配备多少维修工人，才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01．
解 设需配备N名维修工人，记同一时刻发生故障的机器台数为X，则
X~b(100,0.01)．
由题设，需确定最小的N，使得P{X?N}?0.01，即P{X≤N}≥0.99． 由泊松定理，这里??np?100?0.01?1，有
P{X≤N}??i?0N?ie??1ie?1??≥0.99， i!i!i?0N查泊松分布表可求得满足此式最小的N是4，故需至少配备4名维修工人．
7． 设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射击的命中率为0.4，求E(X2)．
解 由题设，X~b(10,0.4)，则
E(X)?np?10?0.4?4，D(X)?np(1?p)?10?0.4?0.6?2.4，
E(X2)?D(X)?[E(X)]2?2.4?16?18.4．
8． 已知X服从参数为2的泊松分布，求随机变量 Z=3X-2的期望和方差． 解 由题设，X~P(?),??2，则E(X)???2,D(X)???2，
E(Z)?E(3X?2)?3E(X)?2?4， D(Z)?D(3X?2)?9D(X)?18．
9． 某保险公司规定，如果一年内某事件A发生，则公司赔偿客户一笔款a元，公司估算一年内A发生的概率为p，那么为使公司收益的期望值等于a/10，该公司应向客户收取多少保险金？
解 设保险公司应向客户收取的保险金额为x，保险公司的收益为Y，则Y的可能取值为?a,x．随机变量Y的分布列为
Y -a x p 1-p P E(Y)??ap?x(1?p)．
由题设，E(Y)?aa1?10pa． ，从而?ap?x(1?p)?，解得 x?101010(1?p)10． 某种商品每件表面上的疵点数X服从泊松分布，平均每件上有0.8个疵点． 若规定表面不超过一个疵点的为一等品，价值十元，表面疵点数大于1不多于4的为二等品，价值8元．某件表面疵点数是4个以上则为废品，求产品价值的均值和方差．
解 商品每件表面上的疵点数X服从泊松分布，由题设，??0.8，即
X~P(0.8)．设Y表示每件产品的价值，则Y的可能取值为10，8，0．查泊松
分布表，有