习 题2.6

2． 已知随机变量?的分布列为?0　　　1　　　3　　　　7???1　　　?，

0.05　　0.2　　0.13　　0.25??0.37　　（1）求?＝2－?的分布列； （2）求?＝3＋?2分布列．

解 （1）?＝2－?的可能取值为?5,?1,1,2,3，而且

P(???5)?P(??7)?0.25，P(???1)?P(??3)?0.13， P(??1)?P(??1)?0.2，P(??2)?P(??0)?0.05， P(??3)?P(???1)?0.37．

即?＝2－?的分布列为

1　 2　　　3???5　 ?1　　　??．

0.13　　0.2　　0.05　　0.37??0.25　　（2）?＝3＋?2的可能取值为3,4,12,52，而且

P(??3)?P(??0)?0.05，

P(??4)?P(3??2?4)?P(??1)?P(???1)?0.37?0.2?0.57，

P(??12)?P(??3)?0.13，P(??52)?P(??7)?0.25．

即?＝3＋?2的分布列为

4　 12　　 　　52?? 3　　　??．

0.57　　0.13　　0.25　?0.05　　?3． 已知X服从参数为1的指数分布，求Y?aX?b(a?0)密度函数和分布函数．

?e?x, x≥0;解 X的密度函数为fX(x)??

?0, x?0.当y?b（即x?0）时，fX(x)?0，从而FY(y)?0； 当y≥b（即x≥0）时，

y?by?bFY(y)?P(Y≤y)?P(aX?b≤y)?P(X≤)??afX(x)dx

0ay?ba0?x?y?ba??edx?1?e．

故Y?aX?b(a?0)的分布函数为

y?b??a, y≥b;? FY(y)??1?e?? 0, y?b.Y的密度函数为

?b?1?ya, y≥b;?e f(y)?FY?(y)??a? 0, y?b.??1，　 1?x?4；4． 已知随机变量X的密度函数为f(x)??， 　?2xln2? 其它.? 0，　 且Y?2?X，求Y的密度函数．

解 当1?x?4时，Y?2?X的取值范围是?2?y?1．于是

当y≤?2或y≥1（即x≥4或x≤1）时，fX(x)?0，从而f(y)?0； 当?2?y?1（即1?x?4）时，

FY(y)?P(Y≤y)?P(2?X≤y)?P(X≥2?y)?1?P(X?2?y)

?1??2?y1fX(x)dx，

则 f(y)?FY?y(?)fX故Y的密度函数为

1，(?2?y?1)． (?2y?)2(2?y)ln21?, ?2?y?1;? f(y)??2(2?y)ln2? 0, 其它.??e?x, x≥0；5． 设随机变量 X~fX(x)??， 求Y?eX的密度函数fY(y)．

?0, x?0.解 当x≥0时，Y?eX的取值范围是y≥1．于是 当y?1（即x?0）时，fX(x)?0，从而f(y)?0； 当y≥1（即x≥0）时，

FY(y)?P(Y≤y)?P(e≤y)?P(X≤lny)??则 f(y)?FY?(y)?Xlny0fX(x)dx，

111fX(lny)?e?lny?2，(y≥1) yyy故Y?eX的密度函数为

?1?,f(y)??y2?0,?y≥1;y?0.

6．设随机变量X在区间[1,2]上服从均匀分布，求Y?e2X的密度函数f(y)．

?1,1≤x≤2;解 X的密度函数为fX(x)??

?0,其它.当1≤x≤2时，y?e2x的取值范围是e2≤y≤e4． 当y≤0时，FY(y)?0；

1当y?0时， FY(y)?P(Y≤y)?P(e2X≤y)?p(X≤lny)

2?0,y?e2;?0,y?e2;?1??2lny?1???dx,e2≤y?e4;??lny?1,e2≤y?e4;

1??244y≥e.?1,?1,y≥e.???0,y?e2;??1于是Y的分布函数为 FY(y)??lny?1,e2≤y?e4;

?24?1,y≥e.?上式求导得Y?e2X的密度函数f(y)

?1?,f(y)?FY?(y)??2y?0,?e2?y?e4;其它.

7． 已知随机变量X的密度函数为f(x)?2,(???x???)，求随x?x?(e?e)? 1, x≥0；机变量函数Y?g(X)的概率分布，其中g(x)??

?1, x?0.?解 由题设知Y的可能取值为?1,1． X的密度函数f(x)???2是???x???上的偶函数，且由密度函数

?(ex?e?x)??22dx??0?(ex?e?x)dx?0.5． ???(ex?e?x)0的性质???f(x)dx?1，可知?P(Y??1)?P{g(X)??1}?P(X?0)??P(Y?1)?P{g(X)?1}?P(X≥0)????2dx?0.5，

???(ex?e?x)002dx?0.5，

?(ex?e?x)

?1 1?． 所以Y?g(X)的概率分布为 ???0.5 0.5????8． 设X服从[a,b]上的均匀分布，证明?X??服从[a???,b???]上的均 匀分布．

?1,a≤x≤b;?证明 X的密度函数为fX(x)??b?a

?其它.?0,y??x??的反函数为x?h(y)?y???，h?(y)?1?．

由教材中定理2.6.1，Y??X??的密度函数

?y??1y??f()?,a≤≤b;?X fY(y)??????0,其它.?对??0，有

?1,a???≤y≤b???;? fY(y)???(b?a)?0,其它.?对??0，有

1?,b???≤y≤a???;? fY(y)????(b?a)?0,其它.?于是当??0时，Y??X??在区间Y?[a???,b???]上服从均匀分布，

当??0时，Y??X??在区间Y?[b???,a???]上服从均匀分布．

?f(x)?0, 0≤x≤?；10． 已知随机变量X的密度函数为fX(x)??

?0, 其它.求Y?sinX的密度函数fY(y)．

解 由题设知X在[0,?]上取值，故Y?sinX在[0,1]上取值，故 当y?0或y?1时，fY(y)?0． 当0≤y≤1时，Y的分布函数为

FY(y)?P(Y≤y)?P(0≤Y≤y)

?P(0≤sinX≤y)?P{(0≤X≤arcsiny)?(??arcsiny≤X≤??? ?P(0≤X≤arcsiny)?P(??arcsiny≤X≤??

??arcsiny0f(x)dx?????arcsinyf(x)dx

故当0≤y≤1时，

fY(y)?FY?(y)?所以

11?y2f(arcsiny)?11?y2f(??arcsiny)．

?1?f(arcsiny)?f(??arcsiny)??, 0≤y≤1;?2? fY(y)??1?y? 0, 其它.?