2004年高考试题全国卷Ⅱ理科数学（必修＋选修Ⅱ）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． （1）已知集合M＝{x|x2＜4}，N＝{x|x2－2x－3＜0}，则集合M∩N＝

（A）{x|x＜－2} （B）{x|x＞3} （C）{x|－1＜x＜2} （D）{x|2＜x＜3}

x2?x?2（2）lim2＝

n?1x?4x?5（A）

1 （B）1 （C）2 （D）1 25413i，则1＋ω＝

＋22（3）设复数ω＝－

（A）–ω （B）ω2 （C）?1? （D）

1?2

（4）已知圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的方程为

（A）(x＋1)2＋y2＝1 （B）x2＋y2＝1 （C）x2＋(y＋1)2＝1 （D）x2＋(y－1)2＝1 （5）已知函数y＝tan(2x＋φ)的图象过点(

?,0)，则φ可以是 12????（A）－ （B） （C）－ （D）

121266（6）函数y＝－ex的图象

（A）与y＝ex的图象关于y轴对称 （B）与y＝ex的图象关于坐标原点对称

－－

（C）与y＝ex的图象关于y轴对称 （D）与y＝ex的图象关于坐标原点对称 （7）已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离为距离为 （A）

?，则球心O到平面ABC的213 （C）2 （D）6 （B）3333（8）在坐标平面内，与点A(1，2)距离为1，且与点B(3，1)距离为2的直线共有

（A）1条 （B）2条 （C）3条 （D）4条 （9）已知平面上直线l的方向向量e?(?其中?＝ （A）

??43点O(0,0)和A(1,-2)在l上的射影分别是O1和A1，则O1A1＝?e，,)，551111 （B）－ （C）2 （D）－2 55（10）函数y＝xcosx－sinx在下面哪个区间内是增函数

（A）(

3??3?5?，) （B）(?，2?) （C）(，) （D）(2?，3?)

2222（11）函数y＝sin4x＋cos2x的最小正周期为

（A）

?? （B） （C）? （D）2? 42（12）在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有

（A）56个 （B）57个 （C）58个 （D）60个

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．

（13）从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的概率分布为

0 1 2 ξ

P

?x?0，?（14）设x，y满足约束条件?x?y，则z＝3x＋2y的最大值是 ．

?2x?y?1，?（15）设中心在原点的椭圆与双曲线2x2－2y2＝1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程

是 ．

（16）下面是关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱，其中，真命题的编号是 (写出所有真命题的编号)． 三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17） (本小题满分12分)已知锐角三角形ABC中，sin(A＋B)＝

3，sin(A－B)＝1． 55(Ⅰ)求证：tanA＝2tanB；

(Ⅱ)设AB＝3，求AB边上的高． （18）(本小题满分12分)

已知8个球队中有3个弱队，以抽签方式将这8个球队分为A、B两组，每组4个．求 (Ⅰ)A、B两组中有一组恰有两个弱队的概率； (Ⅱ)A组中至少有两个弱队的概率． （19）(本小题满分12分)

数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝

n?2Sn（n＝1，2，3，…）．证明： n(Ⅰ)数列{

Sn}是等比数列； n(Ⅱ)Sn＋1＝4an．

（20）(本小题满分12分) ．

如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90o，AC＝1，CB＝2，侧棱AA1＝1，侧面AA1B1B的两条对角线交点为D，B1C1的中点为M． (Ⅰ)求证：CD⊥平面BDM；

(Ⅱ)求面B1BD与面CBD所成二面角的大小．

（21）(本小题满分12分) 给定抛物线C：y2＝4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点．

(Ⅰ)设l的斜率为1，求OA与OB夹角的大小；

(Ⅱ)设FB＝?AF，若?∈[4，9]，求l在y轴上截距的变化范围． (22)(本小题满分14分)已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x，g(x)＝xlnx．

(1)求函数f(x)的最大值；

(2)设0＜a＜b，证明：0＜g(a)＋g(b)－2g(

a?b)＜(b－a)ln2． 22004年高考试题全国卷2 理科数学（必修＋选修Ⅱ）答案：

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．

（1）C （2）A （3）C （4）C （5）A （6）D （7）B （8）B （9）D （10）B （11）B （12）C 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． （13）0.1，0.6，0.3 （14）5 （15）17．(I)证明：∵sin(A+B)=,sin(A-B)=

3515122

x＋y＝1 （16）②④ 232?sinAcosB??tanA?55????2，∴tanA?2tanB. 1tanB?cosAsinB?1?55?343?(II)解：∵

2554tanA?tanB3即??,将tanA?2tanB代入上式并整理得2tan2B?4tanB?1?0 1?tanAtanB42?62?6解得tanB?,因为B为锐角，所以tanB?,∴tanA?2tanB =2+6

22CDCD3CD??设AB上的高为CD，则AB=AD+DB=，由AB=3得CD=2+6 tanAtanB2?6故AB边上的高为2+6

C32C52618．(I) 解：有一组恰有两支弱队的概率2?

7C84?sinAcosB?cosAsinB???∴??sinAcosB?cosAsinB???31C32C52C3C51(II)解：A组中至少有两支弱队的概率?? 442C8C819．（I）证： 由a1=1,an+1=

n?2Sn(n=1,2,3，…)， nS2S4aS2?12?2

知a2=S1=3a1,2?1?2, 1?1,∴

1S12211Sn?1n?2又an+1=Sn+1-Sn(n=1,2,3，…),则Sn+1-Sn=Sn(n=1,2,3，…)，∴nSn+1=2(n+1)Sn, n?1?2(n=1,2,3，…).故数

SnnnS列{n}是首项为1，公比为2的等比数列 A'An（II）解：由（I）知，

Sn?1S?4?n?1(n?2)，于是Sn+1=4(n+1)·Sn?1=4an(n?2)

n?1n?1n?1AA'BDCMB'C'又a2=3S1=3,则S2=a1+a2=4=4a1,因此对于任意正整数n≥1都有

Sn+1=4an.

20．解法一：(I)如图，连结CA1、AC1、CM，则CA1=2， ∵CB=CA1=2，∴△CBA1为等腰三角形， 又知D为其底边A1B的中点，∴CD⊥A1B，

BDCMB'C'