三角函数在近几年高考中的特点分析

王 练

摘 要：近几年高考中三角函数的比重虽然没有太多变化，但题型的特点有所变动，致使学生在三角函数问题上得分不高，从而影响了高考中数学成绩的平均分．因此，对近几年高考中的三角函数试题进行分析，寻找更简单的方法去解决 问题，让学生更高效地学习和理解三角函数知识． 关键词：三角函数；题型；特点．

通过对近几年高考中出现的三角函数的考题进行分析，其考察的重点三角函数的基础知识，考生容易出现错误的模块，对其特点进行分析．让考生能够在这些方面加以注意，不会再犯同样的错误，对每一个知识点再进行巩固．让高考变得更轻松，得分更容易． 一、高考中三角函数的考点分析

分析了近几年的高考，三角函数在三角形中的应用和性质是考查的重点.因为三角函数在三角形中的应用是学生以后学习高等数学知识与应用技术的基础，并且是解决实际问题的有效工具．三角函数一直以来都是高考中的热点之一．近几年来高考降低了对三角变换这一小块知识的考查力度，增强对三角形与三角函数结合的考查类型，函数与三角函数进行融合成为高考中的一个热点，是三角函数解答题的一种新的题型，具有一定程度的灵活性与综合性??.对三角函

1数图像的考查也有所降低，但三角函数的图像仍然是解题的一种较好的方法，周期以及最值问题仍然是高考重点之一??.除此之外，又增加对正弦与余弦定理的

3考查，且以此为重点，特别是在大题中的应用，是近几年高考的必考内容，在复习时要多加留意．

三角函数考查的题型主要有三种：

题 型 考 点 容易出现的错误 三角函数的周期、恒等变换、对其表达式加以其它的运选择题 知道象限角求三角函数值， 算，和差化积以及积化和差使用正、余弦定理求函数式的值． 的使用没有完全理解，导致出现错误． 恒等变换、化简、求值以及填空题 对变换式没有记牢，在周期最值，正、余弦与正、余切 的计算中出错，多倍角的变 的互相转换运算 使用正、余弦定理，解三角换． 对题目的隐含条件没有完全 大 题 形，在函数中变换，使用三 找出，角与边的关系没有完角函数求函数的最值 全分清楚． 二、高考题中三角函数问题的特点 1.周期和单调性（最值的计算）

周期和单调性的运算中带有其它的运算，导致计算周期和单调区间时的出现陷阱，恒等变换中带有多倍角，这与平常学生的练习出现反差，使学生不知道该如何着手．最大、最小值的计算，一般没有在自己计算出来的区间的端点，而是在区间的中部??．此类题型需要考生在平时的训练总结，对基本的周期运算熟练

6掌握，做此类题目要先观察其有多少复合运算，对每一种运算进行分析．

1??例1（2013）已知向量a??cosx,??,b?2??x?R，设函数f(x)?ab.

?3sinx,cos2x，

?(I)求f(x)的最小正周期；

???(Ⅱ)求f(x) 在?0,?上的最大值和最小值.

?2?131?解:(I)f(x)?ab?cosx?3sinx?cos2x?sin2x?cos2x?sin(2x?).

2226最小正周期T?2???. 2?所以f(x)?sin(2x?)最小正周期为?.

6(Ⅱ)

???5???????5??当x??0,?时，2x????,?,由标准函数y?sinx在??,?上的图像知

6?66??2??66???????1?f(x)?sin(2x?)??f(?),f()????,1?.

6?62??2?1???

所以，f (x) 在?0,?上的最大值和最小值分别为1,?.

2?2?

此题结合向量一起考查，对向量的运算进行了简单的考查，考查了和差化积这一个三角变换，近而计算其周期，最大、最小值．此类题目一般都是先计算其周期，近而计算其单调区间，在单调的区间上求出其最大、最小值．在计算过程中都会涉及比较容易的三角变换，如和差化积，积化和差，三角函数特殊角的值需要记忆． 2.倍角和恒等变换

倍角与恒等变换一起使用，尤其是正切和余切的变换，二倍角是基础，多倍角是提升，这一类题型很少出现．考生应注重这类题型，知道正弦或余弦，并且知其角的范围求正切和余切，这类题型一般出现在填空题中，只要认真分析它所使用的方法，正弦和余弦的转换，正、余弦与正、余切之间的转换，恒等变换特别是单位1的应用，它是一个很好的使用工具，此类题目将变的容易．

3例2已知tan???，?在第二象限，求cos3??sin?的值

833解：由tan???，即sin???cos? （1）

88又 cos2??sin2??1 （2） 由（1）（2）得cos???83,sin?? 7373而cos3??sin??cos3??3cos?sin2??sin? =(?83328)?3()?(?) 737373 =?296 7373 此题主要考查正、余切与正、余弦的转换，以及恒等变换单位1的应用，高倍角化为低倍角的简单应用，只要记住了这一些简单的变换、公式，这一类题目就会成为送分题．若此题是填空题，我们可以由tan??b,则acos??aa+b22,sin??ba?b22，得出正、余弦的值，进一步带入计算，从而解决问题．

3.正弦定理与余弦定理的使用

注重在三角形中使用正、余弦公式，主要在大题当中出现．知道三角形的某两角的余弦或正弦，求另一角；或知道某两边和一个角，求另一边．这一类题型的隐含条件需要考生找出来．相当于回顾初中的知识，考察考生在三角形的一小块知识，正、余弦定理的使用需要我们重视，这是以后考试的趋势．

例3 ?ABC中D为边BC上的一点，BD=33，sinB?求AD．

3??0知B? 52124由已知得cosB?,sin?ADC?，

13553，由cos?ADC?，135解： 由cos?ADC?从而 sin?BAD?sin(?ADC?B)

=sin?ADCcosB?cos?ADCsinB

41235 ????

51351333 ?.

65由正弦定理得

ADBD?， sinBsin?BADBD?sinB 所以AD?

sin?BAD533?13=25. =3365

此题考查三角形中边与角的关系，知道几个角和边求另一边，此类题一般都是考查正、余弦定理，近一步考查考生的计算能力．对三角形的基础知识考查，只需要简单的变换就能够得答案，只是在使用定理时要注意其角的取值范围，不要粗心大意，每一个式子成立的条件要看清．

此题除了求边也可以改为求角，求其中两个角的和的正、余弦以及正、余切，作此改变之后，需要的知识同样不变，只是增加了一些其它的变换．对于这一类型的题目，考生要灵活练习．

4.三角函数在三角形的应用

把三角形的角作为未知量，求三角形周长或面积的表达式及其的最大值，这一类题目涉及到倍角公式的应用．求三角形的周长或面积的表达式以及它们的最值，计算时会涉及到正、余弦公式的应用．

例4 在△ABC中，已知内角A??，边BC?23．设内角B?x，周长为?y．（1）求函数y?f(x)的解析式和定义域；（2）求y的最大值．

? 解：（1）由题知，△ABC的内角和A?B?C??，因为A?，B?0，C?0，

?2?所以0?B?．

?由正弦定理可得

AC?BC23sinB?sinx?4sinx，

?sinAsin? AB?BC?2??sinC?4sin??x?． sinA???而y?AB?BC?AC，

2???2???所以y?4sinx?4sin??x??23?0?x??，

?3????

???1sinx?cosx?sinx?23 （2）由（1）y?4?????2?? ?4???3s?ix?n??????5????2?x3???， ??????故当x?????，即x?时，y取得最大值63． ??? 这一类题型在以往的考题中没有出现过，可以算是一种新题型，可能会是以后考试的借鉴．基本思路:首先给出三角形的内角和，进一步理解题目的意思，写出三角形的三个角，事先可以思考一下此问题成立的条件，然后根据其所要求解的相关知识建立函数关系式，进行求解． 三、考点汇总

由上可以看出，近几年高考中．在对三角函数的考查中，主要以周期、图像

以、恒等变换、正弦定理以及余弦定理的应用为主，选择题中以其周期为主要内容，而填空题以其简单的三角变换为主，大题出现在17、18题，主要综合考查三角函数的正弦定理以及余弦定理，这些题目总体来说都不难，只要抓住其隐含的条件完成应没多大问题．而对于函数图像平移一直没有出现题目，可能会成为以后的题型重点?5?．

考生要熟练掌握三角函数的变换公式，认真分析其每个公式的真正意义，应用特点，常规的使用方法等?3?；进一步超出常规的使用方法，熟悉三角函数变换的方法——化弦法，倍角降阶法，正、余弦的变换以及正、余切的变换等；并且能够使用这些方法进行求值、化简、证明；掌握三角初等变换公式的应用特点，并结合三角形的特点解决一些实际问题．

除以上的分析之外，还要求考生熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质及其图像，并能使用其研究复合函数的性质；会用五点画出函数的图象??；能够把图象平移、变换、伸缩，并且明白变换后函数图象的意义．

4在未来几年的高考中，总体的出题方式不会有多大的变化，题型也不会有很大的改变，三角函数的性质一如既往是是考察的重点，特别是三角函数与三角形在一起的综合运用，此类型的题目还会出现．而三角函数的平移、奇偶性在考试中很少出现，这是其另一个特点，可以花少量的时间去关注．若在考试中出现，平移中初象、的考查会是一个重点内容．

参考文献

[1] 李桂平.求解三角函数问题的几大思路[J]. 科学之友(B版).2010,(01):13-15.

[2] 龚亮亮. “任意角的三角函数”教学设计[J]. 中国教育技术装备.2011,(16):24-28. [3] 徐旭明.解读高考解答题中的三角函数题[J]. 数学学习与研究(教研版).2009,(05) 123-126.

[4] 夏飞.锐角三角函数考点分析[J]. 黑龙江教育(中学教学案例与研究).2009,(10): 98-101.

[5] 杨杰.浅谈初等数学中的一员——三角函数的解题策略与技巧[J]. 考试(高考数学版). 2011,(Z1):87-90.

[6] 王红敢.三角函数与平面向量专题 题型预测[J]. 数学爱好者(高考文科版).2008 2008,(02) :211-214.

[7] 王尚志,张思明. 三角函数中的数形结合[J]. 中学数学教学参考.2008,(17):13-16.