第4章 微积分的基本运算

本章学习的主要目的：

1． 复习高等数学中有关函数极限、导数、不定积分、定积分、二重积分、级数、方程近似求解、常微分方程求解的相关知识.

2．通过作图和计算加深对数学概念：极限、导数、积分的理解.

3． 学会用MatLab软件进行有关函数极限、导数、不定积分、级数、常微分方程求解的符号运算；

4．了解数值积分理论,学会用MatLab软件进行数值积分;会用级数进行近似计算.

1 有关函数极限计算的MatLab命令

(1)limit(F,x,a) 执行后返回函数F在符号变量x趋于a的极限

(2)limit(F,a) 执行后返回函数F在符号变量findsym(F)趋于a的极限

(3)limit(F) 执行后返回函数F在符号变量findsym(F)趋于0的极限

(4)limit(F,x,a,’left’) 执行后返回函数F在符号变量x趋于a的左极限

(5)limit(F,x,a,’right’) 执行后返回函数F在符号变量x趋于a的右极限

注:使用命令limit前,要用syms做相应符号变量说明. 例7 求下列极限 (1)limcosx?4ex?0?x22x

在MatLab的命令窗口输入: syms x

limit((cos(x)-exp(-x^2/2))/x^4,x,0) 运行结果为 ans =-1/12

理论上用洛必达法则或泰勒公式计算该极限: 方法1 limcosx?4ex?0?x22x?lim?sinx?e?x22(?x)x?04x3?lim?cosx?e?x22?e?x22x2x?012x2?

x?0limx2??cosx?1?e2x2??1?e2x212x2x2x2x2?(?)?2?1e2??1 ?lim21212x?012x2方法

x22(?)242x2xxx42?1???o(x)?(1?(?)??o(x4))2222 limcosx?4e?lim24!x?0x?0xx4

14x?o(x4)1?lim124?? x?0x12?lim(1?(2) x??2t3x) %自变量趋于无穷大,带参数xt

在MatLab的命令窗口输入: syms x t

limit((1+2*t/x)^(3*x),x,inf) 运行结果为 ans =exp(6*t)

理论上用重要极限计算:

2t2tlim(1?)3x?lim((1?)2t)6t?e6t x??x??xxx(3) xlim %求右极限 ?0?在MatLab的命令窗口输入: syms x

limit(1/x,x,0,’right’) 运行结果为 ans = inf

2 有关函数导数计算的MatLab命令

(1)diff(F,x) 表示表达式F对符号变量x求一阶导数，允许

表达式F含有其他符号变量，若x缺省，

1x